Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54090 / 18650
↖ ↑ ↗
← N 77.937500°
W 31.437378°		 ← 63.81 m → N 77.937500°
W 31.434632°		 →
↑
63.84 m
↓
↑
63.84 m
↓
N 77.936926°
W 31.437378°		 ← 63.82 m →
4 074 m²		 N 77.936926°
W 31.434632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412677764892578 y=0.142292022705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412677764892578 × 217)
    floor (0.412677764892578 × 131072)
    floor (54090.5)     		tx = 54090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142292022705078 × 217)
    floor (0.142292022705078 × 131072)
    floor (18650.5)     		ty = 18650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54090 / 18650 ti = "17/54090/18650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54090/18650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54090 ÷ 217
    54090 ÷ 131072     		x = 0.412673950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18650 ÷ 217
    18650 ÷ 131072     		y = 0.142288208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412673950195312 × 2 - 1) × π
    -0.174652099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54868575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142288208007812 × 2 - 1) × π
    0.715423583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24756947558595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54868575} λ = -0.54868575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24756947558595))-π/2
    2×atan(9.46470366424099)-π/2
    2×1.4655311522801-π/2
    2.9310623045602-1.57079632675     		φ = 1.36026598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54868575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.437378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36026598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.937500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54090 KachelY 18650 -0.54868575 1.36026598 -31.437378 77.937500
    Oben rechts KachelX + 1 54091 KachelY 18650 -0.54863782 1.36026598 -31.434632 77.937500
    Unten links KachelX 54090 KachelY + 1 18651 -0.54868575 1.36025596 -31.437378 77.936926
    Unten rechts KachelX + 1 54091 KachelY + 1 18651 -0.54863782 1.36025596 -31.434632 77.936926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36026598-1.36025596) × R
    1.0020000000166e-05 × 6371000     		dl = 63.8374200010576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36026598-1.36025596) × R
    1.0020000000166e-05 × 6371000     		dr = 63.8374200010576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54868575--0.54863782) × cos(1.36026598) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.208978566066198 × 6371000     		do = 63.8141191603545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54868575--0.54863782) × cos(1.36025596) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.208988364816323 × 6371000     		du = 63.8171113265842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36026598)-sin(1.36025596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208978566066198-0.208988364816323)×R²
    abs(-0.54863782--0.54868575)×9.79875012513398e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.79875012513398e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.79875012513398e-06×40589641000000     		ar = 4073.82423306297m²