Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54090 / 13053
↖ ↑ ↗
← N 80.761938°
W 31.437378°		 ← 49.02 m → N 80.761938°
W 31.434632°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
N 80.761497°
W 31.437378°		 ← 49.02 m →
2 402 m²		 N 80.761497°
W 31.434632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412677764892578 y=0.0995903015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412677764892578 × 217)
    floor (0.412677764892578 × 131072)
    floor (54090.5)     		tx = 54090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0995903015136719 × 217)
    floor (0.0995903015136719 × 131072)
    floor (13053.5)     		ty = 13053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54090 / 13053 ti = "17/54090/13053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54090/13053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54090 ÷ 217
    54090 ÷ 131072     		x = 0.412673950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13053 ÷ 217
    13053 ÷ 131072     		y = 0.0995864868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412673950195312 × 2 - 1) × π
    -0.174652099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54868575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0995864868164062 × 2 - 1) × π
    0.800827026367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.51587230275941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54868575} λ = -0.54868575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51587230275941))-π/2
    2×atan(12.3774009123942)-π/2
    2×1.49017902396484-π/2
    2.98035804792967-1.57079632675     		φ = 1.40956172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54868575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.437378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40956172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.761938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54090 KachelY 13053 -0.54868575 1.40956172 -31.437378 80.761938
    Oben rechts KachelX + 1 54091 KachelY 13053 -0.54863782 1.40956172 -31.434632 80.761938
    Unten links KachelX 54090 KachelY + 1 13054 -0.54868575 1.40955403 -31.437378 80.761497
    Unten rechts KachelX + 1 54091 KachelY + 1 13054 -0.54863782 1.40955403 -31.434632 80.761497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40956172-1.40955403) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dl = 48.9929899993222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40956172-1.40955403) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dr = 48.9929899993222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54868575--0.54863782) × cos(1.40956172) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.160536922396086 × 6371000     		do = 49.0218805127378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54868575--0.54863782) × cos(1.40955403) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.160544512650776 × 6371000     		du = 49.024198288318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40956172)-sin(1.40955403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160536922396086-0.160544512650776)×R²
    abs(-0.54863782--0.54868575)×7.59025468952124e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.59025468952124e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.59025468952124e-06×40589641000000     		ar = 2401.78527908102m²