Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5409 / 3618
↖ ↑ ↗
← N 80.114793°
W120.574951°		 ← 209.71 m → N 80.114793°
W120.563965°		 →
↑
209.73 m
↓
↑
209.73 m
↓
N 80.112906°
W120.574951°		 ← 209.75 m →
43 988 m²		 N 80.112906°
W120.563965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165084838867188 y=0.110427856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165084838867188 × 215)
    floor (0.165084838867188 × 32768)
    floor (5409.5)     		tx = 5409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110427856445312 × 215)
    floor (0.110427856445312 × 32768)
    floor (3618.5)     		ty = 3618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5409 / 3618 ti = "15/5409/3618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5409/3618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5409 ÷ 215
    5409 ÷ 32768     		x = 0.165069580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3618 ÷ 215
    3618 ÷ 32768     		y = 0.11041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165069580078125 × 2 - 1) × π
    -0.66986083984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10442989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11041259765625 × 2 - 1) × π
    0.7791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44784984219855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10442989} λ = -2.10442989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44784984219855))-π/2
    2×atan(11.5634567134284)-π/2
    2×1.48453161721315-π/2
    2.96906323442631-1.57079632675     		φ = 1.39826691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10442989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.574951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39826691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.114793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5409 KachelY 3618 -2.10442989 1.39826691 -120.574951 80.114793
    Oben rechts KachelX + 1 5410 KachelY 3618 -2.10423815 1.39826691 -120.563965 80.114793
    Unten links KachelX 5409 KachelY + 1 3619 -2.10442989 1.39823399 -120.574951 80.112906
    Unten rechts KachelX + 1 5410 KachelY + 1 3619 -2.10423815 1.39823399 -120.563965 80.112906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39826691-1.39823399) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dl = 209.733319999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39826691-1.39823399) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dr = 209.733319999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10442989--2.10423815) × cos(1.39826691) × R
    0.000191739999999996 × 0.171674759861153 × 6371000     		do = 209.713687481754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10442989--2.10423815) × cos(1.39823399) × R
    0.000191739999999996 × 0.171707191027329 × 6371000     		du = 209.753304601088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39826691)-sin(1.39823399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171674759861153-0.171707191027329)×R²
    abs(-2.10423815--2.10442989)×3.24311661757948e-05×R²
    0.000191739999999996×3.24311661757948e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.24311661757948e-05×40589641000000     		ar = 43988.1024441823m²