Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54089 / 16167
↖ ↑ ↗
← N 79.282738°
W 31.440125°		 ← 56.80 m → N 79.282738°
W 31.437378°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
N 79.282228°
W 31.440125°		 ← 56.80 m →
3 224 m²		 N 79.282228°
W 31.437378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412670135498047 y=0.123348236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412670135498047 × 217)
    floor (0.412670135498047 × 131072)
    floor (54089.5)     		tx = 54089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123348236083984 × 217)
    floor (0.123348236083984 × 131072)
    floor (16167.5)     		ty = 16167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54089 / 16167 ti = "17/54089/16167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54089/16167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54089 ÷ 217
    54089 ÷ 131072     		x = 0.412666320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16167 ÷ 217
    16167 ÷ 131072     		y = 0.123344421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412666320800781 × 2 - 1) × π
    -0.174667358398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54873369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123344421386719 × 2 - 1) × π
    0.753311157226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.36659679734255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54873369} λ = -0.54873369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36659679734255))-π/2
    2×atan(10.661048767515)-π/2
    2×1.4772705741905-π/2
    2.95454114838099-1.57079632675     		φ = 1.38374482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54873369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.440125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38374482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.282738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54089 KachelY 16167 -0.54873369 1.38374482 -31.440125 79.282738
    Oben rechts KachelX + 1 54090 KachelY 16167 -0.54868575 1.38374482 -31.437378 79.282738
    Unten links KachelX 54089 KachelY + 1 16168 -0.54873369 1.38373591 -31.440125 79.282228
    Unten rechts KachelX + 1 54090 KachelY + 1 16168 -0.54868575 1.38373591 -31.437378 79.282228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38374482-1.38373591) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38374482-1.38373591) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54873369--0.54868575) × cos(1.38374482) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185962645424768 × 6371000     		do = 56.7977785913115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54873369--0.54868575) × cos(1.38373591) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185971399998607 × 6371000     		du = 56.8004524635047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38374482)-sin(1.38373591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185962645424768-0.185971399998607)×R²
    abs(-0.54868575--0.54873369)×8.75457383908707e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.75457383908707e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.75457383908707e-06×40589641000000     		ar = 3224.23644019617m²