Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54089 / 13497
↖ ↑ ↗
← N 80.564095°
W 31.440125°		 ← 50.07 m → N 80.564095°
W 31.437378°		 →
↑
50.08 m
↓
↑
50.08 m
↓
N 80.563645°
W 31.440125°		 ← 50.08 m →
2 508 m²		 N 80.563645°
W 31.437378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412670135498047 y=0.102977752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412670135498047 × 217)
    floor (0.412670135498047 × 131072)
    floor (54089.5)     		tx = 54089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102977752685547 × 217)
    floor (0.102977752685547 × 131072)
    floor (13497.5)     		ty = 13497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54089 / 13497 ti = "17/54089/13497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54089/13497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54089 ÷ 217
    54089 ÷ 131072     		x = 0.412666320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13497 ÷ 217
    13497 ÷ 131072     		y = 0.102973937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412666320800781 × 2 - 1) × π
    -0.174667358398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54873369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102973937988281 × 2 - 1) × π
    0.794052124023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.4945883193281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54873369} λ = -0.54873369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4945883193281))-π/2
    2×atan(12.1167442622506)-π/2
    2×1.48845252315087-π/2
    2.97690504630174-1.57079632675     		φ = 1.40610872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54873369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.440125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40610872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.564095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54089 KachelY 13497 -0.54873369 1.40610872 -31.440125 80.564095
    Oben rechts KachelX + 1 54090 KachelY 13497 -0.54868575 1.40610872 -31.437378 80.564095
    Unten links KachelX 54089 KachelY + 1 13498 -0.54873369 1.40610086 -31.440125 80.563645
    Unten rechts KachelX + 1 54090 KachelY + 1 13498 -0.54868575 1.40610086 -31.437378 80.563645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40610872-1.40610086) × R
    7.85999999997067e-06 × 6371000     		dl = 50.0760599998131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40610872-1.40610086) × R
    7.85999999997067e-06 × 6371000     		dr = 50.0760599998131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54873369--0.54868575) × cos(1.40610872) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.163944172589241 × 6371000     		do = 50.0727702318398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54873369--0.54868575) × cos(1.40610086) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.163951926235378 × 6371000     		du = 50.075138394949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40610872)-sin(1.40610086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163944172589241-0.163951926235378)×R²
    abs(-0.54868575--0.54873369)×7.75364613730956e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.75364613730956e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.75364613730956e-06×40589641000000     		ar = 2507.50634061864m²