Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54088 / 50145
↖ ↑ ↗
← S 68.594492°
E117.114258°		 ← 222.92 m → S 68.594492°
E117.119751°		 →
↑
222.86 m
↓
↑
222.86 m
↓
S 68.596496°
E117.114258°		 ← 222.90 m →
49 677 m²		 S 68.596496°
E117.119751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825325012207031 y=0.765159606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825325012207031 × 216)
    floor (0.825325012207031 × 65536)
    floor (54088.5)     		tx = 54088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765159606933594 × 216)
    floor (0.765159606933594 × 65536)
    floor (50145.5)     		ty = 50145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54088 / 50145 ti = "16/54088/50145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54088/50145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54088 ÷ 216
    54088 ÷ 65536     		x = 0.8253173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50145 ÷ 216
    50145 ÷ 65536     		y = 0.765151977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8253173828125 × 2 - 1) × π
    0.650634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04402940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765151977539062 × 2 - 1) × π
    -0.530303955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66599900939543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04402940} λ = 2.04402940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66599900939543))-π/2
    2×atan(0.189001749113709)-π/2
    2×0.18679830077502-π/2
    0.373596601550041-1.57079632675     		φ = -1.19719973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04402940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.114258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19719973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.594492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54088 KachelY 50145 2.04402940 -1.19719973 117.114258 -68.594492
    Oben rechts KachelX + 1 54089 KachelY 50145 2.04412527 -1.19719973 117.119751 -68.594492
    Unten links KachelX 54088 KachelY + 1 50146 2.04402940 -1.19723471 117.114258 -68.596496
    Unten rechts KachelX + 1 54089 KachelY + 1 50146 2.04412527 -1.19723471 117.119751 -68.596496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19719973--1.19723471) × R
    3.49800000001288e-05 × 6371000     		dl = 222.857580000821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19719973--1.19723471) × R
    3.49800000001288e-05 × 6371000     		dr = 222.857580000821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04402940-2.04412527) × cos(-1.19719973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364966291441505 × 6371000     		do = 222.916947274722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04402940-2.04412527) × cos(-1.19723471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364933724112969 × 6371000     		du = 222.897055548751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19719973)-sin(-1.19723471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364966291441505-0.364933724112969)×R²
    abs(2.04412527-2.04402940)×3.25673285359596e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25673285359596e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25673285359596e-05×40589641000000     		ar = 49676.5149050124m²