Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54088 / 15270
↖ ↑ ↗
← N 79.731343°
W 31.442871°		 ← 54.45 m → N 79.731343°
W 31.440125°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
N 79.730854°
W 31.442871°		 ← 54.45 m →
2 966 m²		 N 79.730854°
W 31.440125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412662506103516 y=0.116504669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412662506103516 × 217)
    floor (0.412662506103516 × 131072)
    floor (54088.5)     		tx = 54088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116504669189453 × 217)
    floor (0.116504669189453 × 131072)
    floor (15270.5)     		ty = 15270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54088 / 15270 ti = "17/54088/15270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54088/15270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54088 ÷ 217
    54088 ÷ 131072     		x = 0.41265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15270 ÷ 217
    15270 ÷ 131072     		y = 0.116500854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1746826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54878163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116500854492188 × 2 - 1) × π
    0.766998291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40959619630174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54878163} λ = -0.54878163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40959619630174))-π/2
    2×atan(11.129466117994)-π/2
    2×1.48118539228553-π/2
    2.96237078457106-1.57079632675     		φ = 1.39157446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54878163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.442871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39157446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.731343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54088 KachelY 15270 -0.54878163 1.39157446 -31.442871 79.731343
    Oben rechts KachelX + 1 54089 KachelY 15270 -0.54873369 1.39157446 -31.440125 79.731343
    Unten links KachelX 54088 KachelY + 1 15271 -0.54878163 1.39156591 -31.442871 79.730854
    Unten rechts KachelX + 1 54089 KachelY + 1 15271 -0.54873369 1.39156591 -31.440125 79.730854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39157446-1.39156591) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39157446-1.39156591) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54878163--0.54873369) × cos(1.39157446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178263957856671 × 6371000     		do = 54.4464012436667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54878163--0.54873369) × cos(1.39156591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178272370902272 × 6371000     		du = 54.4489708043452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39157446)-sin(1.39156591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178263957856671-0.178272370902272)×R²
    abs(-0.54873369--0.54878163)×8.41304560139644e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.41304560139644e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.41304560139644e-06×40589641000000     		ar = 2965.87707563926m²