Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54087 / 16165
↖ ↑ ↗
← N 79.283760°
W 31.445617°		 ← 56.78 m → N 79.283760°
W 31.442871°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
N 79.283249°
W 31.445617°		 ← 56.78 m →
3 223 m²		 N 79.283249°
W 31.442871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412654876708984 y=0.123332977294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412654876708984 × 217)
    floor (0.412654876708984 × 131072)
    floor (54087.5)     		tx = 54087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123332977294922 × 217)
    floor (0.123332977294922 × 131072)
    floor (16165.5)     		ty = 16165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54087 / 16165 ti = "17/54087/16165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54087/16165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54087 ÷ 217
    54087 ÷ 131072     		x = 0.412651062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16165 ÷ 217
    16165 ÷ 131072     		y = 0.123329162597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412651062011719 × 2 - 1) × π
    -0.174697875976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.54882956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123329162597656 × 2 - 1) × π
    0.753341674804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.36669267114179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54882956} λ = -0.54882956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36669267114179))-π/2
    2×atan(10.6620709317629)-π/2
    2×1.47727948824322-π/2
    2.95455897648645-1.57079632675     		φ = 1.38376265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54882956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.445617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38376265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.283760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54087 KachelY 16165 -0.54882956 1.38376265 -31.445617 79.283760
    Oben rechts KachelX + 1 54088 KachelY 16165 -0.54878163 1.38376265 -31.442871 79.283760
    Unten links KachelX 54087 KachelY + 1 16166 -0.54882956 1.38375374 -31.445617 79.283249
    Unten rechts KachelX + 1 54088 KachelY + 1 16166 -0.54878163 1.38375374 -31.442871 79.283249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38376265-1.38375374) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38376265-1.38375374) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54882956--0.54878163) × cos(1.38376265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185945126407199 × 6371000     		do = 56.7805812683437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54882956--0.54878163) × cos(1.38375374) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185953881010581 × 6371000     		du = 56.7832545918041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38376265)-sin(1.38375374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185945126407199-0.185953881010581)×R²
    abs(-0.54878163--0.54882956)×8.75460338137235e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.75460338137235e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.75460338137235e-06×40589641000000     		ar = 3223.26020822195m²