Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54087 / 15272
↖ ↑ ↗
← N 79.730364°
W 31.445617°		 ← 54.44 m → N 79.730364°
W 31.442871°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
N 79.729874°
W 31.445617°		 ← 54.44 m →
2 966 m²		 N 79.729874°
W 31.442871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412654876708984 y=0.116519927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412654876708984 × 217)
    floor (0.412654876708984 × 131072)
    floor (54087.5)     		tx = 54087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116519927978516 × 217)
    floor (0.116519927978516 × 131072)
    floor (15272.5)     		ty = 15272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54087 / 15272 ti = "17/54087/15272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54087/15272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54087 ÷ 217
    54087 ÷ 131072     		x = 0.412651062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15272 ÷ 217
    15272 ÷ 131072     		y = 0.11651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412651062011719 × 2 - 1) × π
    -0.174697875976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.54882956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11651611328125 × 2 - 1) × π
    0.7669677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4095003225025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54882956} λ = -0.54882956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4095003225025))-π/2
    2×atan(11.128399144942)-π/2
    2×1.48117684646088-π/2
    2.96235369292176-1.57079632675     		φ = 1.39155737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54882956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.445617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39155737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.730364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54087 KachelY 15272 -0.54882956 1.39155737 -31.445617 79.730364
    Oben rechts KachelX + 1 54088 KachelY 15272 -0.54878163 1.39155737 -31.442871 79.730364
    Unten links KachelX 54087 KachelY + 1 15273 -0.54882956 1.39154882 -31.445617 79.729874
    Unten rechts KachelX + 1 54088 KachelY + 1 15273 -0.54878163 1.39154882 -31.442871 79.729874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39155737-1.39154882) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39155737-1.39154882) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54882956--0.54878163) × cos(1.39155737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178280774095045 × 6371000     		do = 54.4401790876676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54882956--0.54878163) × cos(1.39154882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178289187114596 × 6371000     		du = 54.4427481043963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39155737)-sin(1.39154882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178280774095045-0.178289187114596)×R²
    abs(-0.54878163--0.54882956)×8.41301955173401e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.41301955173401e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.41301955173401e-06×40589641000000     		ar = 2965.53812709321m²