Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54086 / 13469
↖ ↑ ↗
← N 80.576695°
W 31.448364°		 ← 50.01 m → N 80.576695°
W 31.445617°		 →
↑
50.01 m
↓
↑
50.01 m
↓
N 80.576245°
W 31.448364°		 ← 50.01 m →
2 501 m²		 N 80.576245°
W 31.445617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412647247314453 y=0.102764129638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412647247314453 × 217)
    floor (0.412647247314453 × 131072)
    floor (54086.5)     		tx = 54086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102764129638672 × 217)
    floor (0.102764129638672 × 131072)
    floor (13469.5)     		ty = 13469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54086 / 13469 ti = "17/54086/13469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54086/13469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54086 ÷ 217
    54086 ÷ 131072     		x = 0.412643432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13469 ÷ 217
    13469 ÷ 131072     		y = 0.102760314941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412643432617188 × 2 - 1) × π
    -0.174713134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54887750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102760314941406 × 2 - 1) × π
    0.794479370117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.49593055251746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54887750} λ = -0.54887750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49593055251746))-π/2
    2×atan(12.1330186781337)-π/2
    2×1.48856247599631-π/2
    2.97712495199263-1.57079632675     		φ = 1.40632863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54887750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.448364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40632863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.576695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54086 KachelY 13469 -0.54887750 1.40632863 -31.448364 80.576695
    Oben rechts KachelX + 1 54087 KachelY 13469 -0.54882956 1.40632863 -31.445617 80.576695
    Unten links KachelX 54086 KachelY + 1 13470 -0.54887750 1.40632078 -31.448364 80.576245
    Unten rechts KachelX + 1 54087 KachelY + 1 13470 -0.54882956 1.40632078 -31.445617 80.576245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40632863-1.40632078) × R
    7.85000000003144e-06 × 6371000     		dl = 50.0123500002003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40632863-1.40632078) × R
    7.85000000003144e-06 × 6371000     		dr = 50.0123500002003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54887750--0.54882956) × cos(1.40632863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163727234092976 × 6371000     		do = 50.0065116309677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54887750--0.54882956) × cos(1.40632078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163734978157265 × 6371000     		du = 50.0088768675338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40632863)-sin(1.40632078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163727234092976-0.163734978157265)×R²
    abs(-0.54882956--0.54887750)×7.74406428924457e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.74406428924457e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.74406428924457e-06×40589641000000     		ar = 2501.00230748984m²