Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54085 / 15273
↖ ↑ ↗
← N 79.729874°
W 31.451111°		 ← 54.45 m → N 79.729874°
W 31.448364°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
N 79.729384°
W 31.451111°		 ← 54.46 m →
2 966 m²		 N 79.729384°
W 31.448364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412639617919922 y=0.116527557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412639617919922 × 217)
    floor (0.412639617919922 × 131072)
    floor (54085.5)     		tx = 54085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116527557373047 × 217)
    floor (0.116527557373047 × 131072)
    floor (15273.5)     		ty = 15273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54085 / 15273 ti = "17/54085/15273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54085/15273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54085 ÷ 217
    54085 ÷ 131072     		x = 0.412635803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15273 ÷ 217
    15273 ÷ 131072     		y = 0.116523742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412635803222656 × 2 - 1) × π
    -0.174728393554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.54892544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116523742675781 × 2 - 1) × π
    0.766952514648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.40945238560288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54892544} λ = -0.54892544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40945238560288))-π/2
    2×atan(11.1278656967753)-π/2
    2×1.48117257324622-π/2
    2.96234514649244-1.57079632675     		φ = 1.39154882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54892544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.451111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39154882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.729874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54085 KachelY 15273 -0.54892544 1.39154882 -31.451111 79.729874
    Oben rechts KachelX + 1 54086 KachelY 15273 -0.54887750 1.39154882 -31.448364 79.729874
    Unten links KachelX 54085 KachelY + 1 15274 -0.54892544 1.39154027 -31.451111 79.729384
    Unten rechts KachelX + 1 54086 KachelY + 1 15274 -0.54887750 1.39154027 -31.448364 79.729384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39154882-1.39154027) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39154882-1.39154027) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54892544--0.54887750) × cos(1.39154882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178289187114596 × 6371000     		do = 54.4541069084384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54892544--0.54887750) × cos(1.39154027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178297600121115 × 6371000     		du = 54.4566764571799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39154882)-sin(1.39154027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178289187114596-0.178297600121115)×R²
    abs(-0.54887750--0.54892544)×8.41300651832633e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.41300651832633e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.41300651832633e-06×40589641000000     		ar = 2966.29681848836m²