Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54085 / 12347
↖ ↑ ↗
← N 81.068089°
W 31.451111°		 ← 47.42 m → N 81.068089°
W 31.448364°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
N 81.067663°
W 31.451111°		 ← 47.42 m →
2 251 m²		 N 81.067663°
W 31.448364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412639617919922 y=0.0942039489746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412639617919922 × 217)
    floor (0.412639617919922 × 131072)
    floor (54085.5)     		tx = 54085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0942039489746094 × 217)
    floor (0.0942039489746094 × 131072)
    floor (12347.5)     		ty = 12347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54085 / 12347 ti = "17/54085/12347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54085/12347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54085 ÷ 217
    54085 ÷ 131072     		x = 0.412635803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12347 ÷ 217
    12347 ÷ 131072     		y = 0.0942001342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412635803222656 × 2 - 1) × π
    -0.174728393554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.54892544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0942001342773438 × 2 - 1) × π
    0.811599731445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.54971575389117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54892544} λ = -0.54892544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54971575389117))-π/2
    2×atan(12.8034639305788)-π/2
    2×1.49285070120837-π/2
    2.98570140241674-1.57079632675     		φ = 1.41490508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54892544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.451111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41490508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.068089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54085 KachelY 12347 -0.54892544 1.41490508 -31.451111 81.068089
    Oben rechts KachelX + 1 54086 KachelY 12347 -0.54887750 1.41490508 -31.448364 81.068089
    Unten links KachelX 54085 KachelY + 1 12348 -0.54892544 1.41489763 -31.451111 81.067663
    Unten rechts KachelX + 1 54086 KachelY + 1 12348 -0.54887750 1.41489763 -31.448364 81.067663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41490508-1.41489763) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41490508-1.41489763) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54892544--0.54887750) × cos(1.41490508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15526059997103 × 6371000     		do = 47.4205836389648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54892544--0.54887750) × cos(1.41489763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155267959624651 × 6371000     		du = 47.4228314666182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41490508)-sin(1.41489763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15526059997103-0.155267959624651)×R²
    abs(-0.54887750--0.54892544)×7.35965362108626e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.35965362108626e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.35965362108626e-06×40589641000000     		ar = 2250.82155612289m²