Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54084 / 14531
↖ ↑ ↗
← N 80.086934°
W 31.453857°		 ← 52.57 m → N 80.086934°
W 31.451111°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.086461°
W 31.453857°		 ← 52.57 m →
2 766 m²		 N 80.086461°
W 31.451111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412631988525391 y=0.110866546630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412631988525391 × 217)
    floor (0.412631988525391 × 131072)
    floor (54084.5)     		tx = 54084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110866546630859 × 217)
    floor (0.110866546630859 × 131072)
    floor (14531.5)     		ty = 14531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54084 / 14531 ti = "17/54084/14531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54084/14531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54084 ÷ 217
    54084 ÷ 131072     		x = 0.412628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14531 ÷ 217
    14531 ÷ 131072     		y = 0.110862731933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.17474365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54897337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110862731933594 × 2 - 1) × π
    0.778274536132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.44502156512096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54897337} λ = -0.54897337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44502156512096))-π/2
    2×atan(11.5307982592169)-π/2
    2×1.48428850679487-π/2
    2.96857701358973-1.57079632675     		φ = 1.39778069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54897337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.453857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39778069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.086934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54084 KachelY 14531 -0.54897337 1.39778069 -31.453857 80.086934
    Oben rechts KachelX + 1 54085 KachelY 14531 -0.54892544 1.39778069 -31.451111 80.086934
    Unten links KachelX 54084 KachelY + 1 14532 -0.54897337 1.39777243 -31.453857 80.086461
    Unten rechts KachelX + 1 54085 KachelY + 1 14532 -0.54892544 1.39777243 -31.451111 80.086461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39778069-1.39777243) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39778069-1.39777243) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54897337--0.54892544) × cos(1.39778069) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172153740972655 × 6371000     		do = 52.5692158155363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54897337--0.54892544) × cos(1.39777243) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172161877645756 × 6371000     		du = 52.5717004465518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39778069)-sin(1.39777243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172153740972655-0.172161877645756)×R²
    abs(-0.54892544--0.54897337)×8.13667310090027e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.13667310090027e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.13667310090027e-06×40589641000000     		ar = 2766.49197120556m²