Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54083 / 23241
↖ ↑ ↗
← N 46.282428°
E117.086792°		 ← 422.12 m → N 46.282428°
E117.092285°		 →
↑
422.14 m
↓
↑
422.14 m
↓
N 46.278631°
E117.086792°		 ← 422.15 m →
178 200 m²		 N 46.278631°
E117.092285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825248718261719 y=0.354637145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825248718261719 × 216)
    floor (0.825248718261719 × 65536)
    floor (54083.5)     		tx = 54083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354637145996094 × 216)
    floor (0.354637145996094 × 65536)
    floor (23241.5)     		ty = 23241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54083 / 23241 ti = "16/54083/23241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54083/23241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54083 ÷ 216
    54083 ÷ 65536     		x = 0.825241088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23241 ÷ 216
    23241 ÷ 65536     		y = 0.354629516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825241088867188 × 2 - 1) × π
    0.650482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04355003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354629516601562 × 2 - 1) × π
    0.290740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.91338968536055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04355003} λ = 2.04355003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.91338968536055))-π/2
    2×atan(2.49275789363887)-π/2
    2×1.18928853799077-π/2
    2.37857707598155-1.57079632675     		φ = 0.80778075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04355003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.086792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80778075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.282428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54083 KachelY 23241 2.04355003 0.80778075 117.086792 46.282428
    Oben rechts KachelX + 1 54084 KachelY 23241 2.04364590 0.80778075 117.092285 46.282428
    Unten links KachelX 54083 KachelY + 1 23242 2.04355003 0.80771449 117.086792 46.278631
    Unten rechts KachelX + 1 54084 KachelY + 1 23242 2.04364590 0.80771449 117.092285 46.278631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80778075-0.80771449) × R
    6.62600000000957e-05 × 6371000     		dl = 422.14246000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80778075-0.80771449) × R
    6.62600000000957e-05 × 6371000     		dr = 422.14246000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04355003-2.04364590) × cos(0.80778075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691104108030542 × 6371000     		do = 422.117936981805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04355003-2.04364590) × cos(0.80771449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691151996274452 × 6371000     		du = 422.147186535512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80778075)-sin(0.80771449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691104108030542-0.691151996274452)×R²
    abs(2.04364590-2.04355003)×4.78882439102213e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78882439102213e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78882439102213e-05×40589641000000     		ar = 178200.078132475m²