Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54083 / 15271
↖ ↑ ↗
← N 79.730854°
W 31.456604°		 ← 54.45 m → N 79.730854°
W 31.453857°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
N 79.730364°
W 31.456604°		 ← 54.45 m →
2 963 m²		 N 79.730364°
W 31.453857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412624359130859 y=0.116512298583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412624359130859 × 217)
    floor (0.412624359130859 × 131072)
    floor (54083.5)     		tx = 54083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116512298583984 × 217)
    floor (0.116512298583984 × 131072)
    floor (15271.5)     		ty = 15271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54083 / 15271 ti = "17/54083/15271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54083/15271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54083 ÷ 217
    54083 ÷ 131072     		x = 0.412620544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15271 ÷ 217
    15271 ÷ 131072     		y = 0.116508483886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412620544433594 × 2 - 1) × π
    -0.174758911132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.54902131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116508483886719 × 2 - 1) × π
    0.766983032226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.40954825940212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54902131} λ = -0.54902131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40954825940212))-π/2
    2×atan(11.1289326186812)-π/2
    2×1.48118111947398-π/2
    2.96236223894796-1.57079632675     		φ = 1.39156591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54902131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.456604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39156591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.730854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54083 KachelY 15271 -0.54902131 1.39156591 -31.456604 79.730854
    Oben rechts KachelX + 1 54084 KachelY 15271 -0.54897337 1.39156591 -31.453857 79.730854
    Unten links KachelX 54083 KachelY + 1 15272 -0.54902131 1.39155737 -31.456604 79.730364
    Unten rechts KachelX + 1 54084 KachelY + 1 15272 -0.54897337 1.39155737 -31.453857 79.730364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39156591-1.39155737) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dl = 54.4083400003621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39156591-1.39155737) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dr = 54.4083400003621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54902131--0.54897337) × cos(1.39156591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178272370902272 × 6371000     		do = 54.4489708043452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54902131--0.54897337) × cos(1.39155737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178280774095045 × 6371000     		du = 54.4515373557162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39156591)-sin(1.39155737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178272370902272-0.178280774095045)×R²
    abs(-0.54897337--0.54902131)×8.40319277273238e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.40319277273238e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.40319277273238e-06×40589641000000     		ar = 2962.54793696612m²