Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54083 / 14534
↖ ↑ ↗
← N 80.085516°
W 31.456604°		 ← 52.59 m → N 80.085516°
W 31.453857°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.085042°
W 31.456604°		 ← 52.59 m →
2 767 m²		 N 80.085042°
W 31.453857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412624359130859 y=0.110889434814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412624359130859 × 217)
    floor (0.412624359130859 × 131072)
    floor (54083.5)     		tx = 54083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110889434814453 × 217)
    floor (0.110889434814453 × 131072)
    floor (14534.5)     		ty = 14534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54083 / 14534 ti = "17/54083/14534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54083/14534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54083 ÷ 217
    54083 ÷ 131072     		x = 0.412620544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14534 ÷ 217
    14534 ÷ 131072     		y = 0.110885620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412620544433594 × 2 - 1) × π
    -0.174758911132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.54902131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110885620117188 × 2 - 1) × π
    0.778228759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4448777544221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54902131} λ = -0.54902131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4448777544221))-π/2
    2×atan(11.5291401262923)-π/2
    2×1.48427612714289-π/2
    2.96855225428578-1.57079632675     		φ = 1.39775593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54902131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.456604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39775593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.085516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54083 KachelY 14534 -0.54902131 1.39775593 -31.456604 80.085516
    Oben rechts KachelX + 1 54084 KachelY 14534 -0.54897337 1.39775593 -31.453857 80.085516
    Unten links KachelX 54083 KachelY + 1 14535 -0.54902131 1.39774767 -31.456604 80.085042
    Unten rechts KachelX + 1 54084 KachelY + 1 14535 -0.54897337 1.39774767 -31.453857 80.085042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39775593-1.39774767) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39775593-1.39774767) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54902131--0.54897337) × cos(1.39775593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172178131255402 × 6371000     		do = 52.5876331504638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54902131--0.54897337) × cos(1.39774767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172186267893291 × 6371000     		du = 52.5901182891122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39775593)-sin(1.39774767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172178131255402-0.172186267893291)×R²
    abs(-0.54897337--0.54902131)×8.13663788909458e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.13663788909458e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.13663788909458e-06×40589641000000     		ar = 2767.46118671688m²