Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54083 / 14532
↖ ↑ ↗
← N 80.086461°
W 31.456604°		 ← 52.58 m → N 80.086461°
W 31.453857°		 →
↑
52.56 m
↓
↑
52.56 m
↓
N 80.085988°
W 31.456604°		 ← 52.59 m →
2 764 m²		 N 80.085988°
W 31.453857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412624359130859 y=0.110874176025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412624359130859 × 217)
    floor (0.412624359130859 × 131072)
    floor (54083.5)     		tx = 54083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110874176025391 × 217)
    floor (0.110874176025391 × 131072)
    floor (14532.5)     		ty = 14532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54083 / 14532 ti = "17/54083/14532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54083/14532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54083 ÷ 217
    54083 ÷ 131072     		x = 0.412620544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14532 ÷ 217
    14532 ÷ 131072     		y = 0.110870361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412620544433594 × 2 - 1) × π
    -0.174758911132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.54902131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110870361328125 × 2 - 1) × π
    0.77825927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44497362822134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54902131} λ = -0.54902131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44497362822134))-π/2
    2×atan(11.5302455217466)-π/2
    2×1.48428438043907-π/2
    2.96856876087813-1.57079632675     		φ = 1.39777243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54902131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.456604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39777243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.086461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54083 KachelY 14532 -0.54902131 1.39777243 -31.456604 80.086461
    Oben rechts KachelX + 1 54084 KachelY 14532 -0.54897337 1.39777243 -31.453857 80.086461
    Unten links KachelX 54083 KachelY + 1 14533 -0.54902131 1.39776418 -31.456604 80.085988
    Unten rechts KachelX + 1 54084 KachelY + 1 14533 -0.54897337 1.39776418 -31.453857 80.085988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39777243-1.39776418) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dl = 52.5607500002736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39777243-1.39776418) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dr = 52.5607500002736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54902131--0.54897337) × cos(1.39777243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172161877645756 × 6371000     		do = 52.58266887971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54902131--0.54897337) × cos(1.39776418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172170004456438 × 6371000     		du = 52.5851510168765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39777243)-sin(1.39776418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172161877645756-0.172170004456438)×R²
    abs(-0.54897337--0.54902131)×8.1268106822685e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.1268106822685e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.1268106822685e-06×40589641000000     		ar = 2763.84974472843m²