Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54081 / 50140
↖ ↑ ↗
← S 68.584465°
E117.075805°		 ← 223.04 m → S 68.584465°
E117.081299°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
S 68.586471°
E117.075805°		 ← 223.02 m →
49 747 m²		 S 68.586471°
E117.081299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825218200683594 y=0.765083312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825218200683594 × 216)
    floor (0.825218200683594 × 65536)
    floor (54081.5)     		tx = 54081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765083312988281 × 216)
    floor (0.765083312988281 × 65536)
    floor (50140.5)     		ty = 50140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54081 / 50140 ti = "16/54081/50140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54081/50140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54081 ÷ 216
    54081 ÷ 65536     		x = 0.825210571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50140 ÷ 216
    50140 ÷ 65536     		y = 0.76507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825210571289062 × 2 - 1) × π
    0.650421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04335828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76507568359375 × 2 - 1) × π
    -0.5301513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66551964039923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04335828} λ = 2.04335828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66551964039923))-π/2
    2×atan(0.189092372411726)-π/2
    2×0.186885797061475-π/2
    0.37377159412295-1.57079632675     		φ = -1.19702473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04335828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.075805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19702473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.584465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54081 KachelY 50140 2.04335828 -1.19702473 117.075805 -68.584465
    Oben rechts KachelX + 1 54082 KachelY 50140 2.04345416 -1.19702473 117.081299 -68.584465
    Unten links KachelX 54081 KachelY + 1 50141 2.04335828 -1.19705974 117.075805 -68.586471
    Unten rechts KachelX + 1 54082 KachelY + 1 50141 2.04345416 -1.19705974 117.081299 -68.586471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19702473--1.19705974) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dl = 223.048709999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19702473--1.19705974) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dr = 223.048709999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04335828-2.04345416) × cos(-1.19702473) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.36512921448048 × 6371000     		do = 223.039721056492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04335828-2.04345416) × cos(-1.19705974) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365096621457396 × 6371000     		du = 223.019811560104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19702473)-sin(-1.19705974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36512921448048-0.365096621457396)×R²
    abs(2.04345416-2.04335828)×3.25930230844484e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.25930230844484e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.25930230844484e-05×40589641000000     		ar = 49746.5016714457m²