Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54081 / 13014
↖ ↑ ↗
← N 80.779118°
W 31.462097°		 ← 48.94 m → N 80.779118°
W 31.459351°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.778678°
W 31.462097°		 ← 48.94 m →
2 395 m²		 N 80.778678°
W 31.459351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412609100341797 y=0.0992927551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412609100341797 × 217)
    floor (0.412609100341797 × 131072)
    floor (54081.5)     		tx = 54081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0992927551269531 × 217)
    floor (0.0992927551269531 × 131072)
    floor (13014.5)     		ty = 13014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54081 / 13014 ti = "17/54081/13014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54081/13014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54081 ÷ 217
    54081 ÷ 131072     		x = 0.412605285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13014 ÷ 217
    13014 ÷ 131072     		y = 0.0992889404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412605285644531 × 2 - 1) × π
    -0.174789428710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.54911719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0992889404296875 × 2 - 1) × π
    0.801422119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51774184184459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54911719} λ = -0.54911719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51774184184459))-π/2
    2×atan(12.4005625912587)-π/2
    2×1.49032895061537-π/2
    2.98065790123075-1.57079632675     		φ = 1.40986157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54911719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.462097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40986157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.779118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54081 KachelY 13014 -0.54911719 1.40986157 -31.462097 80.779118
    Oben rechts KachelX + 1 54082 KachelY 13014 -0.54906925 1.40986157 -31.459351 80.779118
    Unten links KachelX 54081 KachelY + 1 13015 -0.54911719 1.40985389 -31.462097 80.778678
    Unten rechts KachelX + 1 54082 KachelY + 1 13015 -0.54906925 1.40985389 -31.459351 80.778678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40986157-1.40985389) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40986157-1.40985389) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54911719--0.54906925) × cos(1.40986157) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.16024095428735 × 6371000     		do = 48.9417120416012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54911719--0.54906925) × cos(1.40985389) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160248535041113 × 6371000     		du = 48.9440273989292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40986157)-sin(1.40985389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16024095428735-0.160248535041113)×R²
    abs(-0.54906925--0.54911719)×7.58075376364187e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.58075376364187e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.58075376364187e-06×40589641000000     		ar = 2394.73937645617m²