Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54080 / 50149
↖ ↑ ↗
← S 68.602509°
E117.070313°		 ← 222.84 m → S 68.602509°
E117.075805°		 →
↑
222.86 m
↓
↑
222.86 m
↓
S 68.604513°
E117.070313°		 ← 222.82 m →
49 659 m²		 S 68.604513°
E117.075805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825202941894531 y=0.765220642089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825202941894531 × 216)
    floor (0.825202941894531 × 65536)
    floor (54080.5)     		tx = 54080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765220642089844 × 216)
    floor (0.765220642089844 × 65536)
    floor (50149.5)     		ty = 50149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54080 / 50149 ti = "16/54080/50149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54080/50149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54080 ÷ 216
    54080 ÷ 65536     		x = 0.8251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50149 ÷ 216
    50149 ÷ 65536     		y = 0.765213012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8251953125 × 2 - 1) × π
    0.650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04326241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765213012695312 × 2 - 1) × π
    -0.530426025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66638250459239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04326241} λ = 2.04326241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66638250459239))-π/2
    2×atan(0.188929281747038)-π/2
    2×0.186728331856154-π/2
    0.373456663712307-1.57079632675     		φ = -1.19733966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04326241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.070313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19733966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.602509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54080 KachelY 50149 2.04326241 -1.19733966 117.070313 -68.602509
    Oben rechts KachelX + 1 54081 KachelY 50149 2.04335828 -1.19733966 117.075805 -68.602509
    Unten links KachelX 54080 KachelY + 1 50150 2.04326241 -1.19737464 117.070313 -68.604513
    Unten rechts KachelX + 1 54081 KachelY + 1 50150 2.04335828 -1.19737464 117.075805 -68.604513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19733966--1.19737464) × R
    3.49800000001288e-05 × 6371000     		dl = 222.857580000821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19733966--1.19737464) × R
    3.49800000001288e-05 × 6371000     		dr = 222.857580000821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04326241-2.04335828) × cos(-1.19733966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364836010137604 × 6371000     		do = 222.83737304764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04326241-2.04335828) × cos(-1.19737464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364803441023048 × 6371000     		du = 222.817480230789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19733966)-sin(-1.19737464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364836010137604-0.364803441023048)×R²
    abs(2.04335828-2.04326241)×3.25691145566798e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25691145566798e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25691145566798e-05×40589641000000     		ar = 49658.7810638604m²