Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54080 / 21184
↖ ↑ ↗
← N 53.540308°
E117.070313°		 ← 362.96 m → N 53.540308°
E117.075805°		 →
↑
363.02 m
↓
↑
363.02 m
↓
N 53.537043°
E117.070313°		 ← 362.99 m →
131 768 m²		 N 53.537043°
E117.075805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825202941894531 y=0.323249816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825202941894531 × 216)
    floor (0.825202941894531 × 65536)
    floor (54080.5)     		tx = 54080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323249816894531 × 216)
    floor (0.323249816894531 × 65536)
    floor (21184.5)     		ty = 21184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54080 / 21184 ti = "16/54080/21184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54080/21184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54080 ÷ 216
    54080 ÷ 65536     		x = 0.8251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21184 ÷ 216
    21184 ÷ 65536     		y = 0.3232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8251953125 × 2 - 1) × π
    0.650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04326241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3232421875 × 2 - 1) × π
    0.353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11060209039746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04326241} λ = 2.04326241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11060209039746))-π/2
    2×atan(3.03618590259477)-π/2
    2×1.25262548664378-π/2
    2.50525097328757-1.57079632675     		φ = 0.93445465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04326241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.070313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93445465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.540308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54080 KachelY 21184 2.04326241 0.93445465 117.070313 53.540308
    Oben rechts KachelX + 1 54081 KachelY 21184 2.04335828 0.93445465 117.075805 53.540308
    Unten links KachelX 54080 KachelY + 1 21185 2.04326241 0.93439767 117.070313 53.537043
    Unten rechts KachelX + 1 54081 KachelY + 1 21185 2.04335828 0.93439767 117.075805 53.537043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93445465-0.93439767) × R
    5.69800000000953e-05 × 6371000     		dl = 363.019580000607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93445465-0.93439767) × R
    5.69800000000953e-05 × 6371000     		dr = 363.019580000607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04326241-2.04335828) × cos(0.93445465) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594257126156798 × 6371000     		do = 362.964984891912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04326241-2.04335828) × cos(0.93439767) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594302952788395 × 6371000     		du = 362.992975238031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93445465)-sin(0.93439767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594257126156798-0.594302952788395)×R²
    abs(2.04335828-2.04326241)×4.58266315969125e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58266315969125e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58266315969125e-05×40589641000000     		ar = 131768.476927789m²