Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54079 / 23743
↖ ↑ ↗
← N 44.343494°
E117.064820°		 ← 436.81 m → N 44.343494°
E117.070313°		 →
↑
436.86 m
↓
↑
436.86 m
↓
N 44.339565°
E117.064820°		 ← 436.84 m →
190 832 m²		 N 44.339565°
E117.070313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825187683105469 y=0.362297058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825187683105469 × 216)
    floor (0.825187683105469 × 65536)
    floor (54079.5)     		tx = 54079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362297058105469 × 216)
    floor (0.362297058105469 × 65536)
    floor (23743.5)     		ty = 23743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54079 / 23743 ti = "16/54079/23743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54079/23743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54079 ÷ 216
    54079 ÷ 65536     		x = 0.825180053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23743 ÷ 216
    23743 ÷ 65536     		y = 0.362289428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825180053710938 × 2 - 1) × π
    0.650360107421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04316654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.362289428710938 × 2 - 1) × π
    0.275421142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.865261038142014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04316654} λ = 2.04316654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.865261038142014))-π/2
    2×atan(2.37562613407765)-π/2
    2×1.17236814844426-π/2
    2.34473629688851-1.57079632675     		φ = 0.77393997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04316654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.064820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77393997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.343494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54079 KachelY 23743 2.04316654 0.77393997 117.064820 44.343494
    Oben rechts KachelX + 1 54080 KachelY 23743 2.04326241 0.77393997 117.070313 44.343494
    Unten links KachelX 54079 KachelY + 1 23744 2.04316654 0.77387140 117.064820 44.339565
    Unten rechts KachelX + 1 54080 KachelY + 1 23744 2.04326241 0.77387140 117.070313 44.339565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77393997-0.77387140) × R
    6.85700000000455e-05 × 6371000     		dl = 436.85947000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77393997-0.77387140) × R
    6.85700000000455e-05 × 6371000     		dr = 436.85947000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04316654-2.04326241) × cos(0.77393997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.715162352563955 × 6371000     		do = 436.812418510483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04316654-2.04326241) × cos(0.77387140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.715210278458376 × 6371000     		du = 436.841691060661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77393997)-sin(0.77387140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715162352563955-0.715210278458376)×R²
    abs(2.04326241-2.04316654)×4.79258944201533e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79258944201533e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79258944201533e-05×40589641000000     		ar = 190832.035710296m²