Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54079 / 14528
↖ ↑ ↗
← N 80.088352°
W 31.467590°		 ← 52.57 m → N 80.088352°
W 31.464844°		 →
↑
52.56 m
↓
↑
52.56 m
↓
N 80.087880°
W 31.467590°		 ← 52.58 m →
2 763 m²		 N 80.087880°
W 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412593841552734 y=0.110843658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412593841552734 × 217)
    floor (0.412593841552734 × 131072)
    floor (54079.5)     		tx = 54079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110843658447266 × 217)
    floor (0.110843658447266 × 131072)
    floor (14528.5)     		ty = 14528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54079 / 14528 ti = "17/54079/14528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54079/14528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54079 ÷ 217
    54079 ÷ 131072     		x = 0.412590026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14528 ÷ 217
    14528 ÷ 131072     		y = 0.11083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412590026855469 × 2 - 1) × π
    -0.174819946289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.54921306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11083984375 × 2 - 1) × π
    0.7783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44516537581982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54921306} λ = -0.54921306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44516537581982))-π/2
    2×atan(11.5324566306159)-π/2
    2×1.48430088469322-π/2
    2.96860176938645-1.57079632675     		φ = 1.39780544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54921306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.467590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39780544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.088352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54079 KachelY 14528 -0.54921306 1.39780544 -31.467590 80.088352
    Oben rechts KachelX + 1 54080 KachelY 14528 -0.54916512 1.39780544 -31.464844 80.088352
    Unten links KachelX 54079 KachelY + 1 14529 -0.54921306 1.39779719 -31.467590 80.087880
    Unten rechts KachelX + 1 54080 KachelY + 1 14529 -0.54916512 1.39779719 -31.464844 80.087880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39780544-1.39779719) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dl = 52.5607500002736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39780544-1.39779719) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dr = 52.5607500002736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54921306--0.54916512) × cos(1.39780544) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172129360435112 × 6371000     		do = 52.5727372867079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54921306--0.54916512) × cos(1.39779719) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172137487292676 × 6371000     		du = 52.5752194381934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39780544)-sin(1.39779719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172129360435112-0.172137487292676)×R²
    abs(-0.54916512--0.54921306)×8.12685756421128e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.12685756421128e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.12685756421128e-06×40589641000000     		ar = 2763.32773322957m²