Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54079 / 13298
↖ ↑ ↗
← N 80.653282°
W 31.467590°		 ← 49.60 m → N 80.653282°
W 31.464844°		 →
↑
49.63 m
↓
↑
49.63 m
↓
N 80.652835°
W 31.467590°		 ← 49.61 m →
2 462 m²		 N 80.652835°
W 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412593841552734 y=0.101459503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412593841552734 × 217)
    floor (0.412593841552734 × 131072)
    floor (54079.5)     		tx = 54079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101459503173828 × 217)
    floor (0.101459503173828 × 131072)
    floor (13298.5)     		ty = 13298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54079 / 13298 ti = "17/54079/13298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54079/13298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54079 ÷ 217
    54079 ÷ 131072     		x = 0.412590026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13298 ÷ 217
    13298 ÷ 131072     		y = 0.101455688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412590026855469 × 2 - 1) × π
    -0.174819946289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.54921306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101455688476562 × 2 - 1) × π
    0.797088623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50412776235249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54921306} λ = -0.54921306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50412776235249))-π/2
    2×atan(12.2328843288185)-π/2
    2×1.48923082309443-π/2
    2.97846164618886-1.57079632675     		φ = 1.40766532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54921306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.467590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40766532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.653282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54079 KachelY 13298 -0.54921306 1.40766532 -31.467590 80.653282
    Oben rechts KachelX + 1 54080 KachelY 13298 -0.54916512 1.40766532 -31.464844 80.653282
    Unten links KachelX 54079 KachelY + 1 13299 -0.54921306 1.40765753 -31.467590 80.652835
    Unten rechts KachelX + 1 54080 KachelY + 1 13299 -0.54916512 1.40765753 -31.464844 80.652835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40766532-1.40765753) × R
    7.789999999952e-06 × 6371000     		dl = 49.6300899996942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40766532-1.40765753) × R
    7.789999999952e-06 × 6371000     		dr = 49.6300899996942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54921306--0.54916512) × cos(1.40766532) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.16240843598253 × 6371000     		do = 49.6037167422891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54921306--0.54916512) × cos(1.40765753) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162416122554592 × 6371000     		du = 49.6060644192494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40766532)-sin(1.40765753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16240843598253-0.162416122554592)×R²
    abs(-0.54916512--0.54921306)×7.68657206259848e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.68657206259848e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.68657206259848e-06×40589641000000     		ar = 2461.89518384643m²