Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54079 / 13011
↖ ↑ ↗
← N 80.780438°
W 31.467590°		 ← 48.93 m → N 80.780438°
W 31.464844°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.779998°
W 31.467590°		 ← 48.94 m →
2 394 m²		 N 80.779998°
W 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412593841552734 y=0.0992698669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412593841552734 × 217)
    floor (0.412593841552734 × 131072)
    floor (54079.5)     		tx = 54079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0992698669433594 × 217)
    floor (0.0992698669433594 × 131072)
    floor (13011.5)     		ty = 13011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54079 / 13011 ti = "17/54079/13011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54079/13011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54079 ÷ 217
    54079 ÷ 131072     		x = 0.412590026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13011 ÷ 217
    13011 ÷ 131072     		y = 0.0992660522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412590026855469 × 2 - 1) × π
    -0.174819946289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.54921306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0992660522460938 × 2 - 1) × π
    0.801467895507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.51788565254345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54921306} λ = -0.54921306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51788565254345))-π/2
    2×atan(12.4023460530686)-π/2
    2×1.49034047197911-π/2
    2.98068094395822-1.57079632675     		φ = 1.40988462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54921306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.467590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40988462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.780438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54079 KachelY 13011 -0.54921306 1.40988462 -31.467590 80.780438
    Oben rechts KachelX + 1 54080 KachelY 13011 -0.54916512 1.40988462 -31.464844 80.780438
    Unten links KachelX 54079 KachelY + 1 13012 -0.54921306 1.40987694 -31.467590 80.779998
    Unten rechts KachelX + 1 54080 KachelY + 1 13012 -0.54916512 1.40987694 -31.464844 80.779998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40988462-1.40987694) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40988462-1.40987694) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54921306--0.54916512) × cos(1.40988462) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160218202098536 × 6371000     		do = 48.934762937496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54921306--0.54916512) × cos(1.40987694) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160225782880664 × 6371000     		du = 48.9370783034875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40988462)-sin(1.40987694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160218202098536-0.160225782880664)×R²
    abs(-0.54916512--0.54921306)×7.58078212878543e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.58078212878543e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.58078212878543e-06×40589641000000     		ar = 2394.39936206908m²