Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54078 / 14526
↖ ↑ ↗
← N 80.089298°
W 31.470337°		 ← 52.57 m → N 80.089298°
W 31.467590°		 →
↑
52.56 m
↓
↑
52.56 m
↓
N 80.088825°
W 31.470337°		 ← 52.57 m →
2 763 m²		 N 80.088825°
W 31.467590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412586212158203 y=0.110828399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412586212158203 × 217)
    floor (0.412586212158203 × 131072)
    floor (54078.5)     		tx = 54078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110828399658203 × 217)
    floor (0.110828399658203 × 131072)
    floor (14526.5)     		ty = 14526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54078 / 14526 ti = "17/54078/14526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54078/14526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54078 ÷ 217
    54078 ÷ 131072     		x = 0.412582397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14526 ÷ 217
    14526 ÷ 131072     		y = 0.110824584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412582397460938 × 2 - 1) × π
    -0.174835205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54926100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110824584960938 × 2 - 1) × π
    0.778350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44526124961906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54926100} λ = -0.54926100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44526124961906))-π/2
    2×atan(11.5335623440513)-π/2
    2×1.48430913565135-π/2
    2.96861827130269-1.57079632675     		φ = 1.39782194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54926100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.470337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39782194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.089298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54078 KachelY 14526 -0.54926100 1.39782194 -31.470337 80.089298
    Oben rechts KachelX + 1 54079 KachelY 14526 -0.54921306 1.39782194 -31.467590 80.089298
    Unten links KachelX 54078 KachelY + 1 14527 -0.54926100 1.39781369 -31.470337 80.088825
    Unten rechts KachelX + 1 54079 KachelY + 1 14527 -0.54921306 1.39781369 -31.467590 80.088825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39782194-1.39781369) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dl = 52.5607500002736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39782194-1.39781369) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dr = 52.5607500002736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54926100--0.54921306) × cos(1.39782194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172113106684837 × 6371000     		do = 52.5677729728808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54926100--0.54921306) × cos(1.39781369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172121233565832 × 6371000     		du = 52.5702551315225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39782194)-sin(1.39781369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172113106684837-0.172121233565832)×R²
    abs(-0.54921306--0.54926100)×8.12688099477432e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.12688099477432e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.12688099477432e-06×40589641000000     		ar = 2763.06680524303m²