Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54077 / 16173
↖ ↑ ↗
← N 79.279673°
W 31.473083°		 ← 56.80 m → N 79.279673°
W 31.470337°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
N 79.279162°
W 31.473083°		 ← 56.80 m →
3 228 m²		 N 79.279162°
W 31.470337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412578582763672 y=0.123394012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412578582763672 × 217)
    floor (0.412578582763672 × 131072)
    floor (54077.5)     		tx = 54077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123394012451172 × 217)
    floor (0.123394012451172 × 131072)
    floor (16173.5)     		ty = 16173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54077 / 16173 ti = "17/54077/16173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54077/16173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54077 ÷ 217
    54077 ÷ 131072     		x = 0.412574768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16173 ÷ 217
    16173 ÷ 131072     		y = 0.123390197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412574768066406 × 2 - 1) × π
    -0.174850463867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.54930893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123390197753906 × 2 - 1) × π
    0.753219604492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.36630917594483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54930893} λ = -0.54930893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36630917594483))-π/2
    2×atan(10.6579828626984)-π/2
    2×1.47724382699347-π/2
    2.95448765398695-1.57079632675     		φ = 1.38369133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54930893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.473083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38369133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.279673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54077 KachelY 16173 -0.54930893 1.38369133 -31.473083 79.279673
    Oben rechts KachelX + 1 54078 KachelY 16173 -0.54926100 1.38369133 -31.470337 79.279673
    Unten links KachelX 54077 KachelY + 1 16174 -0.54930893 1.38368241 -31.473083 79.279162
    Unten rechts KachelX + 1 54078 KachelY + 1 16174 -0.54926100 1.38368241 -31.470337 79.279162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38369133-1.38368241) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dl = 56.8293199997951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38369133-1.38368241) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dr = 56.8293199997951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54930893--0.54926100) × cos(1.38369133) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186015202122735 × 6371000     		do = 56.8019797310935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54930893--0.54926100) × cos(1.38368241) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186023966433383 × 6371000     		du = 56.8046560187844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38369133)-sin(1.38368241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186015202122735-0.186023966433383)×R²
    abs(-0.54926100--0.54930893)×8.76431064744665e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.76431064744665e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.76431064744665e-06×40589641000000     		ar = 3228.09392857254m²