Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54077 / 14525
↖ ↑ ↗
← N 80.089770°
W 31.473083°		 ← 52.55 m → N 80.089770°
W 31.470337°		 →
↑
52.56 m
↓
↑
52.56 m
↓
N 80.089298°
W 31.473083°		 ← 52.56 m →
2 762 m²		 N 80.089298°
W 31.470337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412578582763672 y=0.110820770263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412578582763672 × 217)
    floor (0.412578582763672 × 131072)
    floor (54077.5)     		tx = 54077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110820770263672 × 217)
    floor (0.110820770263672 × 131072)
    floor (14525.5)     		ty = 14525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54077 / 14525 ti = "17/54077/14525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54077/14525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54077 ÷ 217
    54077 ÷ 131072     		x = 0.412574768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14525 ÷ 217
    14525 ÷ 131072     		y = 0.110816955566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412574768066406 × 2 - 1) × π
    -0.174850463867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.54930893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110816955566406 × 2 - 1) × π
    0.778366088867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.44530918651868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54930893} λ = -0.54930893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44530918651868))-π/2
    2×atan(11.5341152405236)-π/2
    2×1.4843132608382-π/2
    2.9686265216764-1.57079632675     		φ = 1.39783019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54930893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.473083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39783019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.089770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54077 KachelY 14525 -0.54930893 1.39783019 -31.473083 80.089770
    Oben rechts KachelX + 1 54078 KachelY 14525 -0.54926100 1.39783019 -31.470337 80.089770
    Unten links KachelX 54077 KachelY + 1 14526 -0.54930893 1.39782194 -31.473083 80.089298
    Unten rechts KachelX + 1 54078 KachelY + 1 14526 -0.54926100 1.39782194 -31.470337 80.089298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39783019-1.39782194) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dl = 52.5607500002736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39783019-1.39782194) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dr = 52.5607500002736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54930893--0.54926100) × cos(1.39783019) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172104979792128 × 6371000     		do = 52.5543260024653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54930893--0.54926100) × cos(1.39782194) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172113106684837 × 6371000     		du = 52.5568076469206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39783019)-sin(1.39782194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172104979792128-0.172113106684837)×R²
    abs(-0.54926100--0.54930893)×8.1268927092093e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.1268927092093e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.1268927092093e-06×40589641000000     		ar = 2762.36000910351m²