Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54076 / 50125
↖ ↑ ↗
← S 68.554360°
E117.048340°		 ← 223.34 m → S 68.554360°
E117.053833°		 →
↑
223.30 m
↓
↑
223.30 m
↓
S 68.556368°
E117.048340°		 ← 223.32 m →
49 870 m²		 S 68.556368°
E117.053833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825141906738281 y=0.764854431152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825141906738281 × 216)
    floor (0.825141906738281 × 65536)
    floor (54076.5)     		tx = 54076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764854431152344 × 216)
    floor (0.764854431152344 × 65536)
    floor (50125.5)     		ty = 50125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54076 / 50125 ti = "16/54076/50125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54076/50125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54076 ÷ 216
    54076 ÷ 65536     		x = 0.82513427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50125 ÷ 216
    50125 ÷ 65536     		y = 0.764846801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82513427734375 × 2 - 1) × π
    0.6502685546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04287891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764846801757812 × 2 - 1) × π
    -0.529693603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66408153341063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04287891} λ = 2.04287891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66408153341063))-π/2
    2×atan(0.189364503103606)-π/2
    2×0.187148520314899-π/2
    0.374297040629798-1.57079632675     		φ = -1.19649929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04287891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.048340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19649929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.554360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54076 KachelY 50125 2.04287891 -1.19649929 117.048340 -68.554360
    Oben rechts KachelX + 1 54077 KachelY 50125 2.04297479 -1.19649929 117.053833 -68.554360
    Unten links KachelX 54076 KachelY + 1 50126 2.04287891 -1.19653434 117.048340 -68.556368
    Unten rechts KachelX + 1 54077 KachelY + 1 50126 2.04297479 -1.19653434 117.053833 -68.556368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19649929--1.19653434) × R
    3.50499999999254e-05 × 6371000     		dl = 223.303549999525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19649929--1.19653434) × R
    3.50499999999254e-05 × 6371000     		dr = 223.303549999525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04287891-2.04297479) × cos(-1.19649929) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365618326021535 × 6371000     		do = 223.338495565231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04287891-2.04297479) × cos(-1.19653434) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365585702488334 × 6371000     		du = 223.318567431692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19649929)-sin(-1.19653434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365618326021535-0.365585702488334)×R²
    abs(2.04297479-2.04287891)×3.26235332014368e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.26235332014368e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.26235332014368e-05×40589641000000     		ar = 49870.0539050667m²