Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54076 / 18643
↖ ↑ ↗
← N 77.941517°
W 31.475830°		 ← 63.81 m → N 77.941517°
W 31.473083°		 →
↑
63.77 m
↓
↑
63.77 m
↓
N 77.940943°
W 31.475830°		 ← 63.81 m →
4 069 m²		 N 77.940943°
W 31.473083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412570953369141 y=0.142238616943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412570953369141 × 217)
    floor (0.412570953369141 × 131072)
    floor (54076.5)     		tx = 54076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142238616943359 × 217)
    floor (0.142238616943359 × 131072)
    floor (18643.5)     		ty = 18643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54076 / 18643 ti = "17/54076/18643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54076/18643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54076 ÷ 217
    54076 ÷ 131072     		x = 0.412567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18643 ÷ 217
    18643 ÷ 131072     		y = 0.142234802246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.17486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54935687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142234802246094 × 2 - 1) × π
    0.715530395507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.24790503388329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54935687} λ = -0.54935687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24790503388329))-π/2
    2×atan(9.46788015700684)-π/2
    2×1.46556620877415-π/2
    2.93113241754829-1.57079632675     		φ = 1.36033609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54935687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.475830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36033609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.941517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54076 KachelY 18643 -0.54935687 1.36033609 -31.475830 77.941517
    Oben rechts KachelX + 1 54077 KachelY 18643 -0.54930893 1.36033609 -31.473083 77.941517
    Unten links KachelX 54076 KachelY + 1 18644 -0.54935687 1.36032608 -31.475830 77.940943
    Unten rechts KachelX + 1 54077 KachelY + 1 18644 -0.54930893 1.36032608 -31.473083 77.940943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36033609-1.36032608) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dl = 63.7737100000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36033609-1.36032608) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dr = 63.7737100000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54935687--0.54930893) × cos(1.36033609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208910003565942 × 6371000     		do = 63.8064924324885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54935687--0.54930893) × cos(1.36032608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208919792683526 × 6371000     		du = 63.8094822809707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36033609)-sin(1.36032608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208910003565942-0.208919792683526)×R²
    abs(-0.54930893--0.54935687)×9.78911758442447e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.78911758442447e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.78911758442447e-06×40589641000000     		ar = 4069.27208135427m²