Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54074 / 23224
↖ ↑ ↗
← N 46.346928°
E117.037354°		 ← 421.62 m → N 46.346928°
E117.042847°		 →
↑
421.70 m
↓
↑
421.70 m
↓
N 46.343135°
E117.037354°		 ← 421.65 m →
177 802 m²		 N 46.343135°
E117.042847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825111389160156 y=0.354377746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825111389160156 × 216)
    floor (0.825111389160156 × 65536)
    floor (54074.5)     		tx = 54074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354377746582031 × 216)
    floor (0.354377746582031 × 65536)
    floor (23224.5)     		ty = 23224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54074 / 23224 ti = "16/54074/23224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54074/23224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54074 ÷ 216
    54074 ÷ 65536     		x = 0.825103759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23224 ÷ 216
    23224 ÷ 65536     		y = 0.3543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825103759765625 × 2 - 1) × π
    0.65020751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04268717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3543701171875 × 2 - 1) × π
    0.291259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.915019539947632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04268717} λ = 2.04268717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.915019539947632))-π/2
    2×atan(2.49682403923921)-π/2
    2×1.18985140588226-π/2
    2.37970281176453-1.57079632675     		φ = 0.80890649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04268717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.037354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80890649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.346928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54074 KachelY 23224 2.04268717 0.80890649 117.037354 46.346928
    Oben rechts KachelX + 1 54075 KachelY 23224 2.04278304 0.80890649 117.042847 46.346928
    Unten links KachelX 54074 KachelY + 1 23225 2.04268717 0.80884030 117.037354 46.343135
    Unten rechts KachelX + 1 54075 KachelY + 1 23225 2.04278304 0.80884030 117.042847 46.343135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80890649-0.80884030) × R
    6.6190000000077e-05 × 6371000     		dl = 421.696490000491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80890649-0.80884030) × R
    6.6190000000077e-05 × 6371000     		dr = 421.696490000491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04268717-2.04278304) × cos(0.80890649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690290035823246 × 6371000     		do = 421.620711633691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04268717-2.04278304) × cos(0.80884030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690337924945008 × 6371000     		du = 421.64996172358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80890649)-sin(0.80884030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690290035823246-0.690337924945008)×R²
    abs(2.04278304-2.04268717)×4.78891217619015e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78891217619015e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78891217619015e-05×40589641000000     		ar = 177802.141602435m²