Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54074 / 12631
↖ ↑ ↗
← N 80.946164°
W 31.481323°		 ← 48.05 m → N 80.946164°
W 31.478577°		 →
↑
48.04 m
↓
↑
48.04 m
↓
N 80.945731°
W 31.481323°		 ← 48.05 m →
2 308 m²		 N 80.945731°
W 31.478577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412555694580078 y=0.0963706970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412555694580078 × 217)
    floor (0.412555694580078 × 131072)
    floor (54074.5)     		tx = 54074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0963706970214844 × 217)
    floor (0.0963706970214844 × 131072)
    floor (12631.5)     		ty = 12631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54074 / 12631 ti = "17/54074/12631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54074/12631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54074 ÷ 217
    54074 ÷ 131072     		x = 0.412551879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12631 ÷ 217
    12631 ÷ 131072     		y = 0.0963668823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412551879882812 × 2 - 1) × π
    -0.174896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54945274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0963668823242188 × 2 - 1) × π
    0.807266235351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.53610167439907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54945274} λ = -0.54945274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53610167439907))-π/2
    2×atan(12.6303377059179)-π/2
    2×1.49178669805315-π/2
    2.9835733961063-1.57079632675     		φ = 1.41277707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54945274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.481323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41277707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.946164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54074 KachelY 12631 -0.54945274 1.41277707 -31.481323 80.946164
    Oben rechts KachelX + 1 54075 KachelY 12631 -0.54940481 1.41277707 -31.478577 80.946164
    Unten links KachelX 54074 KachelY + 1 12632 -0.54945274 1.41276953 -31.481323 80.945731
    Unten rechts KachelX + 1 54075 KachelY + 1 12632 -0.54940481 1.41276953 -31.478577 80.945731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41277707-1.41276953) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dl = 48.0373399994716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41277707-1.41276953) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dr = 48.0373399994716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54945274--0.54940481) × cos(1.41277707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157362451629519 × 6371000     		do = 48.052517675396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54945274--0.54940481) × cos(1.41276953) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157369897683544 × 6371000     		du = 48.0547914175688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41277707)-sin(1.41276953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157362451629519-0.157369897683544)×R²
    abs(-0.54940481--0.54945274)×7.4460540258614e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.4460540258614e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.4460540258614e-06×40589641000000     		ar = 2308.36974151877m²