Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54072 / 18632
↖ ↑ ↗
← N 77.947827°
W 31.486817°		 ← 63.77 m → N 77.947827°
W 31.484070°		 →
↑
63.77 m
↓
↑
63.77 m
↓
N 77.947253°
W 31.486817°		 ← 63.78 m →
4 067 m²		 N 77.947253°
W 31.484070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412540435791016 y=0.142154693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412540435791016 × 217)
    floor (0.412540435791016 × 131072)
    floor (54072.5)     		tx = 54072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142154693603516 × 217)
    floor (0.142154693603516 × 131072)
    floor (18632.5)     		ty = 18632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54072 / 18632 ti = "17/54072/18632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54072/18632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54072 ÷ 217
    54072 ÷ 131072     		x = 0.41253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18632 ÷ 217
    18632 ÷ 131072     		y = 0.14215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41253662109375 × 2 - 1) × π
    -0.1749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54954862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14215087890625 × 2 - 1) × π
    0.7156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24843233977911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54954862} λ = -0.54954862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24843233977911))-π/2
    2×atan(9.47287394254512)-π/2
    2×1.46562127431306-π/2
    2.93124254862613-1.57079632675     		φ = 1.36044622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54954862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.486817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36044622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.947827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54072 KachelY 18632 -0.54954862 1.36044622 -31.486817 77.947827
    Oben rechts KachelX + 1 54073 KachelY 18632 -0.54950068 1.36044622 -31.484070 77.947827
    Unten links KachelX 54072 KachelY + 1 18633 -0.54954862 1.36043621 -31.486817 77.947253
    Unten rechts KachelX + 1 54073 KachelY + 1 18633 -0.54950068 1.36043621 -31.484070 77.947253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36044622-1.36043621) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dl = 63.7737100000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36044622-1.36043621) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dr = 63.7737100000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54954862--0.54950068) × cos(1.36044622) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.208802302332006 × 6371000     		do = 63.7735977035626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54954862--0.54950068) × cos(1.36043621) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.208812091679839 × 6371000     		du = 63.7765876223687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36044622)-sin(1.36043621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208802302332006-0.208812091679839)×R²
    abs(-0.54950068--0.54954862)×9.7893478331057e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.7893478331057e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.7893478331057e-06×40589641000000     		ar = 4067.17426474229m²