Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54072 / 14519
↖ ↑ ↗
← N 80.092607°
W 31.486817°		 ← 52.55 m → N 80.092607°
W 31.484070°		 →
↑
52.56 m
↓
↑
52.56 m
↓
N 80.092134°
W 31.486817°		 ← 52.55 m →
2 762 m²		 N 80.092134°
W 31.484070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412540435791016 y=0.110774993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412540435791016 × 217)
    floor (0.412540435791016 × 131072)
    floor (54072.5)     		tx = 54072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110774993896484 × 217)
    floor (0.110774993896484 × 131072)
    floor (14519.5)     		ty = 14519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54072 / 14519 ti = "17/54072/14519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54072/14519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54072 ÷ 217
    54072 ÷ 131072     		x = 0.41253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14519 ÷ 217
    14519 ÷ 131072     		y = 0.110771179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41253662109375 × 2 - 1) × π
    -0.1749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54954862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110771179199219 × 2 - 1) × π
    0.778457641601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.4455968079164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54954862} λ = -0.54954862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4455968079164))-π/2
    2×atan(11.5374331760023)-π/2
    2×1.48433800786897-π/2
    2.96867601573794-1.57079632675     		φ = 1.39787969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54954862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.486817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39787969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.092607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54072 KachelY 14519 -0.54954862 1.39787969 -31.486817 80.092607
    Oben rechts KachelX + 1 54073 KachelY 14519 -0.54950068 1.39787969 -31.484070 80.092607
    Unten links KachelX 54072 KachelY + 1 14520 -0.54954862 1.39787144 -31.486817 80.092134
    Unten rechts KachelX + 1 54073 KachelY + 1 14520 -0.54950068 1.39787144 -31.484070 80.092134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39787969-1.39787144) × R
    8.2499999998209e-06 × 6371000     		dl = 52.560749998859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39787969-1.39787144) × R
    8.2499999998209e-06 × 6371000     		dr = 52.560749998859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54954862--0.54950068) × cos(1.39787969) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.1720562181899 × 6371000     		do = 52.5503977623391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54954862--0.54950068) × cos(1.39787144) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172064345152885 × 6371000     		du = 52.5528799460224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39787969)-sin(1.39787144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1720562181899-0.172064345152885)×R²
    abs(-0.54950068--0.54954862)×8.12696298407856e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.12696298407856e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.12696298407856e-06×40589641000000     		ar = 2762.15355170202m²