Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54070 / 50054
↖ ↑ ↗
← S 68.411310°
E117.015381°		 ← 224.76 m → S 68.411310°
E117.020874°		 →
↑
224.71 m
↓
↑
224.71 m
↓
S 68.413331°
E117.015381°		 ← 224.74 m →
50 502 m²		 S 68.413331°
E117.020874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825050354003906 y=0.763771057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825050354003906 × 216)
    floor (0.825050354003906 × 65536)
    floor (54070.5)     		tx = 54070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763771057128906 × 216)
    floor (0.763771057128906 × 65536)
    floor (50054.5)     		ty = 50054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54070 / 50054 ti = "16/54070/50054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54070/50054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54070 ÷ 216
    54070 ÷ 65536     		x = 0.825042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50054 ÷ 216
    50054 ÷ 65536     		y = 0.763763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825042724609375 × 2 - 1) × π
    0.65008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04230367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.52752685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65727449366458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04230367} λ = 2.04230367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65727449366458))-π/2
    2×atan(0.190657911951184)-π/2
    2×0.188396858681031-π/2
    0.376793717362062-1.57079632675     		φ = -1.19400261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04230367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.015381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19400261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.411310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54070 KachelY 50054 2.04230367 -1.19400261 117.015381 -68.411310
    Oben rechts KachelX + 1 54071 KachelY 50054 2.04239955 -1.19400261 117.020874 -68.411310
    Unten links KachelX 54070 KachelY + 1 50055 2.04230367 -1.19403788 117.015381 -68.413331
    Unten rechts KachelX + 1 54071 KachelY + 1 50055 2.04239955 -1.19403788 117.020874 -68.413331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19400261--1.19403788) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dl = 224.705169999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19400261--1.19403788) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dr = 224.705169999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04230367-2.04239955) × cos(-1.19400261) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.367941006114125 × 6371000     		do = 224.757308137355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04230367-2.04239955) × cos(-1.19403788) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.367908210106245 × 6371000     		du = 224.737274647403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19400261)-sin(-1.19403788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367941006114125-0.367908210106245)×R²
    abs(2.04239955-2.04230367)×3.2796007879865e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.2796007879865e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.2796007879865e-05×40589641000000     		ar = 50501.878324508m²