Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5407 / 3039
↖ ↑ ↗
← N 81.149171°
W120.596924°		 ← 187.96 m → N 81.149171°
W120.585937°		 →
↑
187.94 m
↓
↑
187.94 m
↓
N 81.147481°
W120.596924°		 ← 188 m →
35 330 m²		 N 81.147481°
W120.585937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165023803710938 y=0.0927581787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165023803710938 × 215)
    floor (0.165023803710938 × 32768)
    floor (5407.5)     		tx = 5407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0927581787109375 × 215)
    floor (0.0927581787109375 × 32768)
    floor (3039.5)     		ty = 3039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5407 / 3039 ti = "15/5407/3039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5407/3039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5407 ÷ 215
    5407 ÷ 32768     		x = 0.165008544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3039 ÷ 215
    3039 ÷ 32768     		y = 0.092742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165008544921875 × 2 - 1) × π
    -0.66998291015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10481339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092742919921875 × 2 - 1) × π
    0.81451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5588717017186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10481339} λ = -2.10481339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5588717017186))-π/2
    2×atan(12.9212300860179)-π/2
    2×1.49355827516852-π/2
    2.98711655033704-1.57079632675     		φ = 1.41632022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10481339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.596924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41632022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.149171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5407 KachelY 3039 -2.10481339 1.41632022 -120.596924 81.149171
    Oben rechts KachelX + 1 5408 KachelY 3039 -2.10462164 1.41632022 -120.585937 81.149171
    Unten links KachelX 5407 KachelY + 1 3040 -2.10481339 1.41629072 -120.596924 81.147481
    Unten rechts KachelX + 1 5408 KachelY + 1 3040 -2.10462164 1.41629072 -120.585937 81.147481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41632022-1.41629072) × R
    2.95000000001266e-05 × 6371000     		dl = 187.944500000807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41632022-1.41629072) × R
    2.95000000001266e-05 × 6371000     		dr = 187.944500000807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10481339--2.10462164) × cos(1.41632022) × R
    0.000191749999999935 × 0.153862465601388 × 6371000     		do = 187.964427080367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10481339--2.10462164) × cos(1.41629072) × R
    0.000191749999999935 × 0.153891614256514 × 6371000     		du = 188.000036221553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41632022)-sin(1.41629072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153862465601388-0.153891614256514)×R²
    abs(-2.10462164--2.10481339)×2.9148655125627e-05×R²
    0.000191749999999935×2.9148655125627e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.9148655125627e-05×40589641000000     		ar = 35330.2265387627m²