Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54069 / 16178
↖ ↑ ↗
← N 79.277119°
W 31.495056°		 ← 56.83 m → N 79.277119°
W 31.492310°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
N 79.276607°
W 31.495056°		 ← 56.83 m →
3 230 m²		 N 79.276607°
W 31.492310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412517547607422 y=0.123432159423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412517547607422 × 217)
    floor (0.412517547607422 × 131072)
    floor (54069.5)     		tx = 54069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123432159423828 × 217)
    floor (0.123432159423828 × 131072)
    floor (16178.5)     		ty = 16178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54069 / 16178 ti = "17/54069/16178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54069/16178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54069 ÷ 217
    54069 ÷ 131072     		x = 0.412513732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16178 ÷ 217
    16178 ÷ 131072     		y = 0.123428344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412513732910156 × 2 - 1) × π
    -0.174972534179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.54969243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123428344726562 × 2 - 1) × π
    0.753143310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36606949144673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54969243} λ = -0.54969243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36606949144673))-π/2
    2×atan(10.6554286155442)-π/2
    2×1.47722153188781-π/2
    2.95444306377562-1.57079632675     		φ = 1.38364674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54969243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.495056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38364674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.277119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54069 KachelY 16178 -0.54969243 1.38364674 -31.495056 79.277119
    Oben rechts KachelX + 1 54070 KachelY 16178 -0.54964449 1.38364674 -31.492310 79.277119
    Unten links KachelX 54069 KachelY + 1 16179 -0.54969243 1.38363782 -31.495056 79.276607
    Unten rechts KachelX + 1 54070 KachelY + 1 16179 -0.54964449 1.38363782 -31.492310 79.276607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38364674-1.38363782) × R
    8.92000000018989e-06 × 6371000     		dl = 56.8293200012098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38364674-1.38363782) × R
    8.92000000018989e-06 × 6371000     		dr = 56.8293200012098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54969243--0.54964449) × cos(1.38364674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186059013702567 × 6371000     		do = 56.8272119437395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54969243--0.54964449) × cos(1.38363782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186067777939218 × 6371000     		du = 56.8298887672041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38364674)-sin(1.38363782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186059013702567-0.186067777939218)×R²
    abs(-0.54964449--0.54969243)×8.76423665099879e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.76423665099879e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.76423665099879e-06×40589641000000     		ar = 3229.52787325721m²