Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54068 / 50154
↖ ↑ ↗
← S 68.612528°
E117.004394°		 ← 222.76 m → S 68.612528°
E117.009888°		 →
↑
222.73 m
↓
↑
222.73 m
↓
S 68.614531°
E117.004394°		 ← 222.74 m →
49 613 m²		 S 68.614531°
E117.009888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825019836425781 y=0.765296936035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825019836425781 × 216)
    floor (0.825019836425781 × 65536)
    floor (54068.5)     		tx = 54068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765296936035156 × 216)
    floor (0.765296936035156 × 65536)
    floor (50154.5)     		ty = 50154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54068 / 50154 ti = "16/54068/50154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54068/50154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54068 ÷ 216
    54068 ÷ 65536     		x = 0.82501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50154 ÷ 216
    50154 ÷ 65536     		y = 0.765289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82501220703125 × 2 - 1) × π
    0.6500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04211192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.53057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66686187358859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04211192} λ = 2.04211192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66686187358859))-π/2
    2×atan(0.188838736610893)-π/2
    2×0.186640905833055-π/2
    0.37328181166611-1.57079632675     		φ = -1.19751452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04211192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.004394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19751452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.612528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54068 KachelY 50154 2.04211192 -1.19751452 117.004394 -68.612528
    Oben rechts KachelX + 1 54069 KachelY 50154 2.04220780 -1.19751452 117.009888 -68.612528
    Unten links KachelX 54068 KachelY + 1 50155 2.04211192 -1.19754948 117.004394 -68.614531
    Unten rechts KachelX + 1 54069 KachelY + 1 50155 2.04220780 -1.19754948 117.009888 -68.614531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19751452--1.19754948) × R
    3.49600000000283e-05 × 6371000     		dl = 222.73016000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19751452--1.19754948) × R
    3.49600000000283e-05 × 6371000     		dr = 222.73016000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04211192-2.04220780) × cos(-1.19751452) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.364673197346907 × 6371000     		do = 222.761162315544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04211192-2.04220780) × cos(-1.19754948) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.364640644624358 × 6371000     		du = 222.741277436797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19751452)-sin(-1.19754948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364673197346907-0.364640644624358)×R²
    abs(2.04220780-2.04211192)×3.25527225494282e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.25527225494282e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.25527225494282e-05×40589641000000     		ar = 49613.414848421m²