Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54068 / 50147
↖ ↑ ↗
← S 68.598501°
E117.004394°		 ← 222.90 m → S 68.598501°
E117.009888°		 →
↑
222.86 m
↓
↑
222.86 m
↓
S 68.600505°
E117.004394°		 ← 222.88 m →
49 673 m²		 S 68.600505°
E117.009888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825019836425781 y=0.765190124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825019836425781 × 216)
    floor (0.825019836425781 × 65536)
    floor (54068.5)     		tx = 54068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765190124511719 × 216)
    floor (0.765190124511719 × 65536)
    floor (50147.5)     		ty = 50147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54068 / 50147 ti = "16/54068/50147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54068/50147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54068 ÷ 216
    54068 ÷ 65536     		x = 0.82501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50147 ÷ 216
    50147 ÷ 65536     		y = 0.765182495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82501220703125 × 2 - 1) × π
    0.6500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04211192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765182495117188 × 2 - 1) × π
    -0.530364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66619075699391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04211192} λ = 2.04211192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66619075699391))-π/2
    2×atan(0.188965511956512)-π/2
    2×0.186763313192771-π/2
    0.373526626385542-1.57079632675     		φ = -1.19726970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04211192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.004394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19726970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.598501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54068 KachelY 50147 2.04211192 -1.19726970 117.004394 -68.598501
    Oben rechts KachelX + 1 54069 KachelY 50147 2.04220780 -1.19726970 117.009888 -68.598501
    Unten links KachelX 54068 KachelY + 1 50148 2.04211192 -1.19730468 117.004394 -68.600505
    Unten rechts KachelX + 1 54069 KachelY + 1 50148 2.04220780 -1.19730468 117.009888 -68.600505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19726970--1.19730468) × R
    3.49799999999068e-05 × 6371000     		dl = 222.857579999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19726970--1.19730468) × R
    3.49799999999068e-05 × 6371000     		dr = 222.857579999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04211192-2.04220780) × cos(-1.19726970) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.364901147027437 × 6371000     		do = 222.900405715261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04211192-2.04220780) × cos(-1.19730468) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.364868578805747 × 6371000     		du = 222.880511368841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19726970)-sin(-1.19730468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364901147027437-0.364868578805747)×R²
    abs(2.04220780-2.04211192)×3.25682216896772e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.25682216896772e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.25682216896772e-05×40589641000000     		ar = 49672.8282008727m²