Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54068 / 16181
↖ ↑ ↗
← N 79.275585°
W 31.497802°		 ← 56.82 m → N 79.275585°
W 31.495056°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
N 79.275074°
W 31.497802°		 ← 56.83 m →
3 229 m²		 N 79.275074°
W 31.495056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412509918212891 y=0.123455047607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412509918212891 × 217)
    floor (0.412509918212891 × 131072)
    floor (54068.5)     		tx = 54068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123455047607422 × 217)
    floor (0.123455047607422 × 131072)
    floor (16181.5)     		ty = 16181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54068 / 16181 ti = "17/54068/16181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54068/16181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54068 ÷ 217
    54068 ÷ 131072     		x = 0.412506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16181 ÷ 217
    16181 ÷ 131072     		y = 0.123451232910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.17498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54974036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123451232910156 × 2 - 1) × π
    0.753097534179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.36592568074787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54974036} λ = -0.54974036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36592568074787))-π/2
    2×atan(10.6538963610882)-π/2
    2×1.47720815230396-π/2
    2.95441630460792-1.57079632675     		φ = 1.38361998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54974036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.497802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38361998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.275585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54068 KachelY 16181 -0.54974036 1.38361998 -31.497802 79.275585
    Oben rechts KachelX + 1 54069 KachelY 16181 -0.54969243 1.38361998 -31.495056 79.275585
    Unten links KachelX 54068 KachelY + 1 16182 -0.54974036 1.38361106 -31.497802 79.275074
    Unten rechts KachelX + 1 54069 KachelY + 1 16182 -0.54969243 1.38361106 -31.495056 79.275074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38361998-1.38361106) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dl = 56.8293199997951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38361998-1.38361106) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dr = 56.8293199997951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54974036--0.54969243) × cos(1.38361998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186085306368105 × 6371000     		do = 56.8233869057712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54974036--0.54969243) × cos(1.38361106) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186094070560339 × 6371000     		du = 56.8260631573032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38361998)-sin(1.38361106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186085306368105-0.186094070560339)×R²
    abs(-0.54969243--0.54974036)×8.76419223447278e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.76419223447278e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.76419223447278e-06×40589641000000     		ar = 3229.31048273154m²