Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54068 / 16180
↖ ↑ ↗
← N 79.276096°
W 31.497802°		 ← 56.82 m → N 79.276096°
W 31.495056°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
N 79.275585°
W 31.497802°		 ← 56.82 m →
3 229 m²		 N 79.275585°
W 31.495056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412509918212891 y=0.123447418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412509918212891 × 217)
    floor (0.412509918212891 × 131072)
    floor (54068.5)     		tx = 54068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123447418212891 × 217)
    floor (0.123447418212891 × 131072)
    floor (16180.5)     		ty = 16180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54068 / 16180 ti = "17/54068/16180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54068/16180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54068 ÷ 217
    54068 ÷ 131072     		x = 0.412506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16180 ÷ 217
    16180 ÷ 131072     		y = 0.123443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.17498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54974036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123443603515625 × 2 - 1) × π
    0.75311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36597361764749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54974036} λ = -0.54974036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36597361764749))-π/2
    2×atan(10.6544070880899)-π/2
    2×1.47721261237531-π/2
    2.95442522475061-1.57079632675     		φ = 1.38362890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54974036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.497802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38362890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.276096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54068 KachelY 16180 -0.54974036 1.38362890 -31.497802 79.276096
    Oben rechts KachelX + 1 54069 KachelY 16180 -0.54969243 1.38362890 -31.495056 79.276096
    Unten links KachelX 54068 KachelY + 1 16181 -0.54974036 1.38361998 -31.497802 79.275585
    Unten rechts KachelX + 1 54069 KachelY + 1 16181 -0.54969243 1.38361998 -31.495056 79.275585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38362890-1.38361998) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dl = 56.8293199997951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38362890-1.38361998) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dr = 56.8293199997951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54974036--0.54969243) × cos(1.38362890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186076542161064 × 6371000     		do = 56.8207106497179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54974036--0.54969243) × cos(1.38361998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186085306368105 × 6371000     		du = 56.8233869057712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38362890)-sin(1.38361998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186076542161064-0.186085306368105)×R²
    abs(-0.54969243--0.54974036)×8.76420704057357e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.76420704057357e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.76420704057357e-06×40589641000000     		ar = 3229.15839321264m²