Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54065 / 13863
↖ ↑ ↗
← N 80.397856°
W 31.506043°		 ← 50.95 m → N 80.397856°
W 31.503296°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
N 80.397398°
W 31.506043°		 ← 50.95 m →
2 593 m²		 N 80.397398°
W 31.503296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412487030029297 y=0.105770111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412487030029297 × 217)
    floor (0.412487030029297 × 131072)
    floor (54065.5)     		tx = 54065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105770111083984 × 217)
    floor (0.105770111083984 × 131072)
    floor (13863.5)     		ty = 13863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54065 / 13863 ti = "17/54065/13863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54065/13863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54065 ÷ 217
    54065 ÷ 131072     		x = 0.412483215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13863 ÷ 217
    13863 ÷ 131072     		y = 0.105766296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412483215332031 × 2 - 1) × π
    -0.175033569335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.54988418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105766296386719 × 2 - 1) × π
    0.788467407226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.47704341406716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54988418} λ = -0.54988418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47704341406716))-π/2
    2×atan(11.9060111837392)-π/2
    2×1.4870018148018-π/2
    2.9740036296036-1.57079632675     		φ = 1.40320730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54988418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.506043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40320730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.397856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54065 KachelY 13863 -0.54988418 1.40320730 -31.506043 80.397856
    Oben rechts KachelX + 1 54066 KachelY 13863 -0.54983624 1.40320730 -31.503296 80.397856
    Unten links KachelX 54065 KachelY + 1 13864 -0.54988418 1.40319931 -31.506043 80.397398
    Unten rechts KachelX + 1 54066 KachelY + 1 13864 -0.54983624 1.40319931 -31.503296 80.397398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40320730-1.40319931) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40320730-1.40319931) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54988418--0.54983624) × cos(1.40320730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166805641194048 × 6371000     		do = 50.9467363978333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54988418--0.54983624) × cos(1.40319931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166813519247195 × 6371000     		du = 50.9491425580454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40320730)-sin(1.40319931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166805641194048-0.166813519247195)×R²
    abs(-0.54983624--0.54988418)×7.87805314661494e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.87805314661494e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.87805314661494e-06×40589641000000     		ar = 2593.46868632333m²