Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54064 / 13456
↖ ↑ ↗
← N 80.582539°
W 31.508789°		 ← 49.97 m → N 80.582539°
W 31.506043°		 →
↑
50.01 m
↓
↑
50.01 m
↓
N 80.582090°
W 31.508789°		 ← 49.97 m →
2 499 m²		 N 80.582090°
W 31.506043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412479400634766 y=0.102664947509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412479400634766 × 217)
    floor (0.412479400634766 × 131072)
    floor (54064.5)     		tx = 54064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102664947509766 × 217)
    floor (0.102664947509766 × 131072)
    floor (13456.5)     		ty = 13456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54064 / 13456 ti = "17/54064/13456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54064/13456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54064 ÷ 217
    54064 ÷ 131072     		x = 0.4124755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13456 ÷ 217
    13456 ÷ 131072     		y = 0.1026611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4124755859375 × 2 - 1) × π
    -0.175048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54993211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1026611328125 × 2 - 1) × π
    0.794677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49655373221252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54993211} λ = -0.54993211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49655373221252))-π/2
    2×atan(12.1405820854498)-π/2
    2×1.48861347606334-π/2
    2.97722695212668-1.57079632675     		φ = 1.40643063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54993211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.508789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40643063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.582539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54064 KachelY 13456 -0.54993211 1.40643063 -31.508789 80.582539
    Oben rechts KachelX + 1 54065 KachelY 13456 -0.54988418 1.40643063 -31.506043 80.582539
    Unten links KachelX 54064 KachelY + 1 13457 -0.54993211 1.40642278 -31.508789 80.582090
    Unten rechts KachelX + 1 54065 KachelY + 1 13457 -0.54988418 1.40642278 -31.506043 80.582090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40643063-1.40642278) × R
    7.85000000003144e-06 × 6371000     		dl = 50.0123500002003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40643063-1.40642278) × R
    7.85000000003144e-06 × 6371000     		dr = 50.0123500002003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54993211--0.54988418) × cos(1.40643063) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163626609665383 × 6371000     		do = 49.9653536894694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54993211--0.54988418) × cos(1.40642278) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163634353860731 × 6371000     		du = 49.9677184726818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40643063)-sin(1.40642278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163626609665383-0.163634353860731)×R²
    abs(-0.54988418--0.54993211)×7.7441953484636e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.7441953484636e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.7441953484636e-06×40589641000000     		ar = 2498.94389096779m²