Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54062 / 13862
↖ ↑ ↗
← N 80.398314°
W 31.514282°		 ← 50.94 m → N 80.398314°
W 31.511536°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
N 80.397856°
W 31.514282°		 ← 50.95 m →
2 597 m²		 N 80.397856°
W 31.511536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412464141845703 y=0.105762481689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412464141845703 × 217)
    floor (0.412464141845703 × 131072)
    floor (54062.5)     		tx = 54062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105762481689453 × 217)
    floor (0.105762481689453 × 131072)
    floor (13862.5)     		ty = 13862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54062 / 13862 ti = "17/54062/13862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54062/13862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54062 ÷ 217
    54062 ÷ 131072     		x = 0.412460327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13862 ÷ 217
    13862 ÷ 131072     		y = 0.105758666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412460327148438 × 2 - 1) × π
    -0.175079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55002799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105758666992188 × 2 - 1) × π
    0.788482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47709135096678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55002799} λ = -0.55002799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47709135096678))-π/2
    2×atan(11.9065819346821)-π/2
    2×1.48700581277989-π/2
    2.97401162555978-1.57079632675     		φ = 1.40321530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55002799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.514282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40321530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.398314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54062 KachelY 13862 -0.55002799 1.40321530 -31.514282 80.398314
    Oben rechts KachelX + 1 54063 KachelY 13862 -0.54998005 1.40321530 -31.511536 80.398314
    Unten links KachelX 54062 KachelY + 1 13863 -0.55002799 1.40320730 -31.514282 80.397856
    Unten rechts KachelX + 1 54063 KachelY + 1 13863 -0.54998005 1.40320730 -31.511536 80.397856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40321530-1.40320730) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40321530-1.40320730) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55002799--0.54998005) × cos(1.40321530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166797753270342 × 6371000     		do = 50.9443272228981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55002799--0.54998005) × cos(1.40320730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166805641194048 × 6371000     		du = 50.9467363978333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40321530)-sin(1.40320730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166797753270342-0.166805641194048)×R²
    abs(-0.54998005--0.55002799)×7.88792370670643e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.88792370670643e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.88792370670643e-06×40589641000000     		ar = 2596.59186531183m²