Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54060 / 50133
↖ ↑ ↗
← S 68.570421°
E116.960449°		 ← 223.18 m → S 68.570421°
E116.965943°		 →
↑
223.18 m
↓
↑
223.18 m
↓
S 68.572428°
E116.960449°		 ← 223.16 m →
49 806 m²		 S 68.572428°
E116.965943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824897766113281 y=0.764976501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824897766113281 × 216)
    floor (0.824897766113281 × 65536)
    floor (54060.5)     		tx = 54060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764976501464844 × 216)
    floor (0.764976501464844 × 65536)
    floor (50133.5)     		ty = 50133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54060 / 50133 ti = "16/54060/50133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54060/50133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54060 ÷ 216
    54060 ÷ 65536     		x = 0.82489013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50133 ÷ 216
    50133 ÷ 65536     		y = 0.764968872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82489013671875 × 2 - 1) × π
    0.6497802734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04134493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764968872070312 × 2 - 1) × π
    -0.529937744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66484852380455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04134493} λ = 2.04134493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66484852380455))-π/2
    2×atan(0.189219318033671)-π/2
    2×0.187008357479632-π/2
    0.374016714959265-1.57079632675     		φ = -1.19677961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04134493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.960449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19677961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.570421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54060 KachelY 50133 2.04134493 -1.19677961 116.960449 -68.570421
    Oben rechts KachelX + 1 54061 KachelY 50133 2.04144081 -1.19677961 116.965943 -68.570421
    Unten links KachelX 54060 KachelY + 1 50134 2.04134493 -1.19681464 116.960449 -68.572428
    Unten rechts KachelX + 1 54061 KachelY + 1 50134 2.04144081 -1.19681464 116.965943 -68.572428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19677961--1.19681464) × R
    3.50299999998249e-05 × 6371000     		dl = 223.176129998885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19677961--1.19681464) × R
    3.50299999998249e-05 × 6371000     		dr = 223.176129998885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04134493-2.04144081) × cos(-1.19677961) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365357399652112 × 6371000     		do = 223.179108306297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04134493-2.04144081) × cos(-1.19681464) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365324791145676 × 6371000     		du = 223.159189351881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19677961)-sin(-1.19681464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365357399652112-0.365324791145676)×R²
    abs(2.04144081-2.04134493)×3.26085064358272e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.26085064358272e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.26085064358272e-05×40589641000000     		ar = 49806.026976092m²