Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54058 / 13854
↖ ↑ ↗
← N 80.401979°
W 31.525268°		 ← 50.91 m → N 80.401979°
W 31.522522°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
N 80.401521°
W 31.525268°		 ← 50.92 m →
2 592 m²		 N 80.401521°
W 31.522522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412433624267578 y=0.105701446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412433624267578 × 217)
    floor (0.412433624267578 × 131072)
    floor (54058.5)     		tx = 54058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105701446533203 × 217)
    floor (0.105701446533203 × 131072)
    floor (13854.5)     		ty = 13854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54058 / 13854 ti = "17/54058/13854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54058/13854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54058 ÷ 217
    54058 ÷ 131072     		x = 0.412429809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13854 ÷ 217
    13854 ÷ 131072     		y = 0.105697631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412429809570312 × 2 - 1) × π
    -0.175140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55021973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105697631835938 × 2 - 1) × π
    0.788604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47747484616374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55021973} λ = -0.55021973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47747484616374))-π/2
    2×atan(11.9111489273202)-π/2
    2×1.48703778980272-π/2
    2.97407557960544-1.57079632675     		φ = 1.40327925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55021973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.525268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40327925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.401979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54058 KachelY 13854 -0.55021973 1.40327925 -31.525268 80.401979
    Oben rechts KachelX + 1 54059 KachelY 13854 -0.55017180 1.40327925 -31.522522 80.401979
    Unten links KachelX 54058 KachelY + 1 13855 -0.55021973 1.40327126 -31.525268 80.401521
    Unten rechts KachelX + 1 54059 KachelY + 1 13855 -0.55017180 1.40327126 -31.522522 80.401521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40327925-1.40327126) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40327925-1.40327126) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55021973--0.55017180) × cos(1.40327925) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166734698796518 × 6371000     		do = 50.9144460959746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55021973--0.55017180) × cos(1.40327126) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16674257694554 × 6371000     		du = 50.9168517835525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40327925)-sin(1.40327126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166734698796518-0.16674257694554)×R²
    abs(-0.55017180--0.55021973)×7.8781490217561e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.8781490217561e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.8781490217561e-06×40589641000000     		ar = 2591.82495921111m²