Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54057 / 14572
↖ ↑ ↗
← N 80.067529°
W 31.528015°		 ← 52.68 m → N 80.067529°
W 31.525268°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
N 80.067055°
W 31.528015°		 ← 52.68 m →
2 776 m²		 N 80.067055°
W 31.525268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412425994873047 y=0.111179351806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412425994873047 × 217)
    floor (0.412425994873047 × 131072)
    floor (54057.5)     		tx = 54057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111179351806641 × 217)
    floor (0.111179351806641 × 131072)
    floor (14572.5)     		ty = 14572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54057 / 14572 ti = "17/54057/14572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54057/14572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54057 ÷ 217
    54057 ÷ 131072     		x = 0.412422180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14572 ÷ 217
    14572 ÷ 131072     		y = 0.111175537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412422180175781 × 2 - 1) × π
    -0.175155639648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.55026767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111175537109375 × 2 - 1) × π
    0.77764892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44305615223654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55026767} λ = -0.55026767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44305615223654))-π/2
    2×atan(11.5081577360266)-π/2
    2×1.48411916633014-π/2
    2.96823833266028-1.57079632675     		φ = 1.39744201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55026767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.528015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39744201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.067529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54057 KachelY 14572 -0.55026767 1.39744201 -31.528015 80.067529
    Oben rechts KachelX + 1 54058 KachelY 14572 -0.55021973 1.39744201 -31.525268 80.067529
    Unten links KachelX 54057 KachelY + 1 14573 -0.55026767 1.39743374 -31.528015 80.067055
    Unten rechts KachelX + 1 54058 KachelY + 1 14573 -0.55021973 1.39743374 -31.525268 80.067055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39744201-1.39743374) × R
    8.2699999999214e-06 × 6371000     		dl = 52.6881699994992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39744201-1.39743374) × R
    8.2699999999214e-06 × 6371000     		dr = 52.6881699994992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55026767--0.55021973) × cos(1.39744201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172487354632232 × 6371000     		do = 52.6820779291574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55026767--0.55021973) × cos(1.39743374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172495500673359 × 6371000     		du = 52.6845659397965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39744201)-sin(1.39743374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172487354632232-0.172495500673359)×R²
    abs(-0.55021973--0.55026767)×8.14604112633899e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.14604112633899e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.14604112633899e-06×40589641000000     		ar = 2775.78782210788m²