Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54055 / 50039
↖ ↑ ↗
← S 68.380973°
E116.932983°		 ← 225.06 m → S 68.380973°
E116.938477°		 →
↑
225.02 m
↓
↑
225.02 m
↓
S 68.382996°
E116.932983°		 ← 225.04 m →
50 641 m²		 S 68.382996°
E116.938477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824821472167969 y=0.763542175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824821472167969 × 216)
    floor (0.824821472167969 × 65536)
    floor (54055.5)     		tx = 54055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763542175292969 × 216)
    floor (0.763542175292969 × 65536)
    floor (50039.5)     		ty = 50039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54055 / 50039 ti = "16/54055/50039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54055/50039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54055 ÷ 216
    54055 ÷ 65536     		x = 0.824813842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50039 ÷ 216
    50039 ÷ 65536     		y = 0.763534545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824813842773438 × 2 - 1) × π
    0.649627685546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04086556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763534545898438 × 2 - 1) × π
    -0.527069091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65583638667598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04086556} λ = 2.04086556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65583638667598))-π/2
    2×atan(0.19093229567608)-π/2
    2×0.188661604908055-π/2
    0.37732320981611-1.57079632675     		φ = -1.19347312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04086556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.932983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19347312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.380973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54055 KachelY 50039 2.04086556 -1.19347312 116.932983 -68.380973
    Oben rechts KachelX + 1 54056 KachelY 50039 2.04096144 -1.19347312 116.938477 -68.380973
    Unten links KachelX 54055 KachelY + 1 50040 2.04086556 -1.19350844 116.932983 -68.382996
    Unten rechts KachelX + 1 54056 KachelY + 1 50040 2.04096144 -1.19350844 116.938477 -68.382996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19347312--1.19350844) × R
    3.53200000000609e-05 × 6371000     		dl = 225.023720000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19347312--1.19350844) × R
    3.53200000000609e-05 × 6371000     		dr = 225.023720000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04086556-2.04096144) × cos(-1.19347312) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.368433300332319 × 6371000     		do = 225.058026789134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04086556-2.04096144) × cos(-1.19350844) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.36840046471671 × 6371000     		du = 225.037969104742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19347312)-sin(-1.19350844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368433300332319-0.36840046471671)×R²
    abs(2.04096144-2.04086556)×3.28356156089615e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.28356156089615e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.28356156089615e-05×40589641000000     		ar = 50641.1376821396m²