Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54053 / 15000
↖ ↑ ↗
← N 79.862701°
W 31.539002°		 ← 53.76 m → N 79.862701°
W 31.536255°		 →
↑
53.77 m
↓
↑
53.77 m
↓
N 79.862218°
W 31.539002°		 ← 53.76 m →
2 891 m²		 N 79.862218°
W 31.536255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412395477294922 y=0.114444732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412395477294922 × 217)
    floor (0.412395477294922 × 131072)
    floor (54053.5)     		tx = 54053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114444732666016 × 217)
    floor (0.114444732666016 × 131072)
    floor (15000.5)     		ty = 15000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54053 / 15000 ti = "17/54053/15000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54053/15000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54053 ÷ 217
    54053 ÷ 131072     		x = 0.412391662597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15000 ÷ 217
    15000 ÷ 131072     		y = 0.11444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412391662597656 × 2 - 1) × π
    -0.175216674804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.55045942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11444091796875 × 2 - 1) × π
    0.7711181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42253915919916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55045942} λ = -0.55045942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42253915919916))-π/2
    2×atan(11.274450625597)-π/2
    2×1.48233170814834-π/2
    2.96466341629667-1.57079632675     		φ = 1.39386709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55045942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.539002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39386709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.862701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54053 KachelY 15000 -0.55045942 1.39386709 -31.539002 79.862701
    Oben rechts KachelX + 1 54054 KachelY 15000 -0.55041148 1.39386709 -31.536255 79.862701
    Unten links KachelX 54053 KachelY + 1 15001 -0.55045942 1.39385865 -31.539002 79.862218
    Unten rechts KachelX + 1 54054 KachelY + 1 15001 -0.55041148 1.39385865 -31.536255 79.862218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39386709-1.39385865) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dl = 53.7712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39386709-1.39385865) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dr = 53.7712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55045942--0.55041148) × cos(1.39386709) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176007583075694 × 6371000     		do = 53.7572463065945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55045942--0.55041148) × cos(1.39385865) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176015891310987 × 6371000     		du = 53.7597838555071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39386709)-sin(1.39385865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176007583075694-0.176015891310987)×R²
    abs(-0.55041148--0.55045942)×8.30823529368585e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.30823529368585e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.30823529368585e-06×40589641000000     		ar = 2890.66201639323m²