Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54053 / 13861
↖ ↑ ↗
← N 80.398772°
W 31.539002°		 ← 50.94 m → N 80.398772°
W 31.536255°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
N 80.398314°
W 31.539002°		 ← 50.94 m →
2 593 m²		 N 80.398314°
W 31.536255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412395477294922 y=0.105754852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412395477294922 × 217)
    floor (0.412395477294922 × 131072)
    floor (54053.5)     		tx = 54053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105754852294922 × 217)
    floor (0.105754852294922 × 131072)
    floor (13861.5)     		ty = 13861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54053 / 13861 ti = "17/54053/13861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54053/13861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54053 ÷ 217
    54053 ÷ 131072     		x = 0.412391662597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13861 ÷ 217
    13861 ÷ 131072     		y = 0.105751037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412391662597656 × 2 - 1) × π
    -0.175216674804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.55045942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105751037597656 × 2 - 1) × π
    0.788497924804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.4771392878664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55045942} λ = -0.55045942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4771392878664))-π/2
    2×atan(11.9071527129857)-π/2
    2×1.48700981056902-π/2
    2.97401962113804-1.57079632675     		φ = 1.40322329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55045942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.539002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40322329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.398772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54053 KachelY 13861 -0.55045942 1.40322329 -31.539002 80.398772
    Oben rechts KachelX + 1 54054 KachelY 13861 -0.55041148 1.40322329 -31.536255 80.398772
    Unten links KachelX 54053 KachelY + 1 13862 -0.55045942 1.40321530 -31.539002 80.398314
    Unten rechts KachelX + 1 54054 KachelY + 1 13862 -0.55041148 1.40321530 -31.536255 80.398314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40322329-1.40321530) × R
    7.98999999984673e-06 × 6371000     		dl = 50.9042899990235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40322329-1.40321530) × R
    7.98999999984673e-06 × 6371000     		dr = 50.9042899990235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55045942--0.55041148) × cos(1.40322329) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.166789875195885 × 6371000     		do = 50.9419210562953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55045942--0.55041148) × cos(1.40321530) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.166797753270342 × 6371000     		du = 50.9443272230161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40322329)-sin(1.40321530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166789875195885-0.166797753270342)×R²
    abs(-0.55041148--0.55045942)×7.87807445698507e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.87807445698507e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.87807445698507e-06×40589641000000     		ar = 2593.22356452639m²